По заданному значению функции найдите остальные значения тригонометрических функций the X = - 1/3, 3π/2 < x < 2π

Для данной функции, если известно значение \( \sin(x) = -\frac{1}{3} \) в диапазоне \( \frac{3\pi}{2} < x < 2\pi \), можем найти остальные тригонометрические функции.

Сначала определим \( x \). В пределах указанного интервала \( x \) находится в четвертой четверти, где синус отрицательный, а косинус положительный.

1. Найдем косинус: Сначала используем основное тригонометрическое тождество: \[ \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \] Подставим значение синуса: \[ \left(-\frac{1}{3}\right)^2 + \cos^2(x) = 1 \] \[ \frac{1}{9} + \cos^2(x) = 1 \] \[ \cos^2(x) = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \] Теперь найдем косинус, учитывая его знак в четвертой четверти: \[ \cos(x) = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \]

2. Найдем тангенс: Тангенс определяется как отношение синуса к косинусу: \[ \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \frac{-\frac{1}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}} = -\frac{1}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{4} \]

3. Найдем котангенс: Котангенс – это обратное значение тангенса: \[ \cot(x) = \frac{1}{\tan(x)} = -\frac{4}{\sqrt{2}} = -2\sqrt{2} \]

4. Найдем секанс и косеканс: Секанс – это обратное значение косинуса, а косеканс – обратное значение синуса: \[ \sec(x) = \frac{1}{\cos(x)} = \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4} \] \[ \csc(x) = \frac{1}{\sin(x)} = -3 \]

Таким образом, мы нашли все тригонометрические функции для данного значения:

• \( \sin(x) = -\frac{1}{3} \)
• \( \cos(x) = \frac{2\sqrt{2}}{3} \)
• \( \tan(x) = -\frac{\sqrt{2}}{4} \)
• \( \cot(x) = -2\sqrt{2} \)
• \( \sec(x) = \frac{3\sqrt{2}}{4} \)
• \( \csc(x) = -3 \)