Длина окружности с центром в точке O равна 12. ∠AOB = 120∘, точки A и B лежат на окружности и разбивают её на две дуги. Во сколько раз длина большей из получившихся дуг…

Для решения этой задачи начнем с определения длины окружности и угла, под которым расположены точки A и B на окружности.

1. Длина окружности: Дано, что длина окружности равна 12. Это означает, что вся окружность имеет 360 градусов.

2. Угол ∠AOB: Данный угол составляет 120 градусов. Этот угол определяет величины дуг, на которые разбивается окружность между точками A и B.

3. Определение долей окружности:

   • Полный круг — 360 градусов.
   • Угол ∠AOB равен 120 градусам, тогда угол, оставшийся до полного круга, составляет:
     \( 360^\circ - 120^\circ = 240^\circ\).

4. Расчет длин дуг:

   • Длина дуги, соответствующая углу 120 градусов:
     \[ L_1 = \frac{120^\circ}{360^\circ} \times 12 = \frac{1}{3} \times 12 = 4. \]
   • Длина дуги, соответствующая углу 240 градусов:
     \[ L_2 = \frac{240^\circ}{360^\circ} \times 12 = \frac{2}{3} \times 12 = 8. \]

5. Сравнение длин дуг:
   Теперь у нас есть две дуги: одна длиной 4 (меньшая) и другая длиной 8 (большая). Чтобы найти, во сколько раз длина большей дуги превосходит длину меньшей, мы просто делим длину большей дуги на длину меньшей:

   \[ \text{Отношение} = \frac{L_2}{L_1} = \frac{8}{4} = 2. \]

Таким образом, длина большей из получившихся дуг превосходит длину меньшей в 2 раза.