Найдите все значения к, при каждом из которых прямая y = kx имеет с графиком функции y = - x ^ 2 - 6.25 ровно одну общую точку. Постройте этот график и все такие прямые.
Для того чтобы найти все значения \( k \), при которых прямая \( y = kx \) имеет с графиком функции \( y = -x^2 - 6.25 \) ровно одну общую точку, начнём с приравнивания уравнений:
\[ kx = -x^2 - 6.25 \]
Перепишем это уравнение в стандартной форме:
\[ x^2 + kx + 6.25 = 0 \]
Это квадратное уравнение, где \( a = 1 \), \( b = k \), \( c = 6.25 \). Для того чтобы прямая имела ровно одну общую точку с параболой, дискриминант этого уравнения должен равняться нулю. Дискриминант вычисляется по формуле:
\[ D = b^2 - 4ac \]
Подставим наши значения:
\[ D = k^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6.25 \]
Упростим выражение:
\[ D = k^2 - 25 \]
Для того чтобы уравнение имело ровно одно решение, необходимо:
\[ D = 0 \]
Это приводит нас к уравнению:
\[ k^2 - 25 = 0 \]
Решим это уравнение:
\[ k^2 = 25 \]
Отсюда:
\[ k = 5 \quad \text{или} \quad k = -5 \]
Таким образом, значения \( k \), при которых прямая имеет ровно одну общую точку с графиком функции, равны \( k = 5 \) и \( k = -5 \).
Теперь давайте построим график функции \( y = -x^2 - 6.25 \) и линий \( y = 5x \) и \( y = -5x \).
График функции \( y = -x^2 - 6.25 \):
- Это парабола, открывающаяся вниз, с вершиной в точке \( (0, -6.25) \).
График прямой \( y = 5x \):
- Прямая проходит через начало координат с угловым коэффициентом 5.
График прямой \( y = -5x \):
- Прямая также проходит через начало координат, но имеет угловой коэффициент -5.
На графике вы увидите, что прямая \( y = 5x \) касается параболы в одной точке выше оси абсцисс, а прямая \( y = -5x \) касается параболы в одной точке ниже оси абсцисс.
Эти графики обеспечат наглядное представление общего случая, когда прямая касается параболы в одной точке. Если вам нужна дополнительная помощь, не стесняйтесь задавать другие вопросы!
