Известно, что графики функций y = x ^ 2 + p и y = - 2x - 2 имеют ровно одну общую точку. Определите координаты этой точки. Постройте графики заданных функций в одной системе координат
Давайте разберем задачу и найдем координаты точки пересечения графиков функций \( y = x^2 + p \) и \( y = -2x - 2 \). Чтобы эти графики имели ровно одну общую точку, необходимо, чтобы система уравнений имела одно решение. Это происходит в случае, если дискриминант квадратного уравнения равен нулю.
Приравняем функции друг к другу: \[ x^2 + p = -2x - 2 \] Передвинем все в одну сторону: \[ x^2 + 2x + (p + 2) = 0 \]
Теперь определим условия для дискриминанта \( D \): \[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (p + 2) = 4 - 4(p + 2) \] Условие на одно решение: \[ D = 0 \Rightarrow 4 - 4(p + 2) = 0 \] Упростим уравнение: \[ 4 - 4p - 8 = 0 \Rightarrow -4p - 4 = 0 \Rightarrow -4p = 4 \Rightarrow p = -1 \]
Теперь, когда мы нашли \( p \), подставим это значение обратно в одно из уравнений для нахождения координат точки пересечения. Подставим \( p = -1 \) в функцию: \[ y = x^2 - 1 \] Теперь ищем точку пересечения: \[ x^2 - 1 = -2x - 2 \] Это эквивалентно: \[ x^2 + 2x + 1 = 0 \] Которое раскладывается как: \[ (x + 1)^2 = 0 \] Таким образом, \( x = -1 \). Подставляем \( x = -1 \) в любое из уравнений для нахождения \( y \): \[ y = -2(-1) - 2 = 2 - 2 = 0 \] Таким образом, точка пересечения графиков функций имеет координаты \( (-1, 0) \).
Теперь давайте построим графики функций:
- График \( y = x^2 - 1 \) — это парабола, которая открыта вверх и проходит через точку \( (-1, 0) \).
- График \( y = -2x - 2 \) — это прямая с угловым коэффициентом -2 и пересекает ось \( y \) в точке \( (0, -2) \).
Для построения:
- Парабола пройдет через точки \( (-1, 0) \), \( (0, -1) \), \( (1, 0) \) и другие.
- Прямая, начиная с точки \( (0, -2) \), будет опускаться и пересекаться с параболой в одной точке \( (-1, 0) \).
Вы можете использовать координатную плоскость, отмечая эти точки, чтобы увидеть, как графики пересекаются. Если у вас есть какие-либо вопросы по построению графиков или другим математическим аспектам, не стесняйтесь спрашивать!
