{x<0 x2+ x-2 >0

Давайте разберемся с неравенством \( x^2 + x - 2 > 0 \) при условии \( x < 0 \).

1. Решение квадратного неравенства:
   Сначала найдем корни уравнения \( x^2 + x - 2 = 0 \). Для этого воспользуемся формулой квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] В нашем случае \( a = 1, b = 1, c = -2 \). Подставляем значения: \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \] Получаем два корня: \[ x_1 = \frac{2}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{-4}{2} = -2 \]

2. Анализ промежутков:
   Теперь у нас есть корни \( -2 \) и \( 1 \). Мы будем исследовать знаки выражения \( x^2 + x - 2 \) на промежутках: \( (-\infty, -2) \), \( (-2, 1) \) и \( (1, +\infty) \).

   • На промежутке \( (-\infty, -2) \):
     Выберем точку, например, \( x = -3 \): \[ (-3)^2 + (-3) - 2 = 9 - 3 - 2 = 4 > 0 \]
   • На промежутке \( (-2, 1) \):
     Выберем точку, например, \( x = 0 \): \[ 0^2 + 0 - 2 = -2 < 0 \]
   • На промежутке \( (1, +\infty) \):
     Выберем точку, например, \( x = 2 \): \[ 2^2 + 2 - 2 = 4 + 2 - 2 = 4 > 0 \]

3. Итоги:
   На промежутке \( (-\infty, -2) \) выражение положительно, на \( (-2, 1) \) отрицательно, и на \( (1, +\infty) \) снова положительно. Мы ищем те значения \( x < 0 \), для которых \( x^2 + x - 2 > 0 \).

Таким образом, решение неравенства \( x^2 + x - 2 > 0 \) при условии \( x < 0 \) — это интервал: \[ x \in (-\infty, -2) \]

Если у вас есть дополнительные вопросы по этой теме или другим материалам, не стесняйтесь спрашивать!