Контрольная работа №1 a) Сумму, Вариант I 1) Даны числа z1 = 2 - 2i, z2 = 3 + 4i . Найти: b) разность, c) произведение, d) частное, e) модуль числа 2 4 2) Даны матрицы С и D: С =…

Давайте подробно разберём каждую задачу.

Задача 1

1) Даны числа z1 = 2 - 2i, z2 = 3 + 4i. Найдите:

a) Сумму:
\[ z_1 + z_2 = (2 - 2i) + (3 + 4i) = (2 + 3) + (-2i + 4i) = 5 + 2i \]

b) Разность:
\[ z_1 - z_2 = (2 - 2i) - (3 + 4i) = (2 - 3) + (-2i - 4i) = -1 - 6i \]

c) Произведение:
\[ z_1 \cdot z_2 = (2 - 2i)(3 + 4i) \]
Используем распределительный закон:
\[ = 2 \cdot 3 + 2 \cdot 4i - 2i \cdot 3 - 2i \cdot 4i \]
\[ = 6 + 8i - 6i - 8 \]
\[ = (6 - 8) + (8i - 6i) = -2 + 2i \]

d) Частное:
\[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{2 - 2i}{3 + 4i} \]
Для деления комплексных чисел умножим числитель и знаменатель на сопряжённое знаменателя:
\[ = \frac{(2 - 2i)(3 - 4i)}{(3 + 4i)(3 - 4i)} \]
Знаменатель:
\[ 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 \]
Числитель:
\[ = (2 \cdot 3 + 2 \cdot 4i - 2i \cdot 3 + 2i \cdot 4i) = 6 + 8i - 6i - 8 = -2 + 2i \]
Итак,
\[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{-2 + 2i}{25} = -\frac{2}{25} + \frac{2}{25}i \]

e) Модуль числа:
Модуль числа \( z = x + yi \) определяется формулой:
\[ |z| = \sqrt{x^2 + y^2} \]
Для \( z_1 \):
\[ |z_1| = |2 - 2i| = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \]
Для \( z_2 \):
\[ |z_2| = |3 + 4i| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]

Задача 2

2) Даны матрицы C и D:
\[ C = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 2 \\ 5 & 4 & 1 \\ -1 & -5 & 6 \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} -2 & -5 & 5 \\ 4 & 1 & -1 \\ \end{pmatrix} \]

a) C + 3D:
\[ 3D = 3 \begin{pmatrix} -2 & -5 & 5 \\ 4 & 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 & -15 & 15 \\ 12 & 3 & -3 \\ \end{pmatrix} \]
Теперь складываем:
\[ C + 3D = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 2 \\ 5 & 4 & 1 \\ -1 & -5 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -6 & -15 & 15 \\ 12 & 3 & -3 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & -12 & 17 \\ 17 & 7 & -2 \\ \end{pmatrix} \]

б) C - D:
Давайте вычтем матрицы:
\[ C - D = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 2 \\ 5 & 4 & 1 \\ -1 & -5 & 6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 & -5 & 5 \\ 4 & 1 & -1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 8 & -3 \\ 1 & 3 & 2 \\ \end{pmatrix} \]

c) C • D:
Для умножения матриц используем правило умножения: вычисляем каждое значение в результатирующей матрице. Размерности матриц C и D соответствуют для перемножения.
\[ C \cdot D = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 2 \\ 5 & 4 & 1 \\ -1 & -5 & 6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2 & -5 & 5 \\ 4 & 1 & -1 \\ \end{pmatrix} \]
Каждый элемент результатирующей матрицы вычисляем как суммы произведений:
\[ = \begin{pmatrix} 4 \cdot (-2) + 3 \cdot 4 + 2 \cdot 0 & 4 \cdot (-5) + 3 \cdot 1 + 2 \cdot 0 & 4 \cdot 5 + 3 \cdot (-1) + 2 \cdot 0 \\ 5 \cdot (-2) + 4 \cdot 4 + 1 \cdot 0 & 5 \cdot (-5) + 4 \cdot 1 + 1 \cdot 0 & 5 \cdot 5 + 4 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 \\ -1 \cdot (-2) + -5 \cdot 4 + 6 \cdot 0 & -1 \cdot (-5) + -5 \cdot 1 + 6 \cdot 0 & -1 \cdot 5 + -5 \cdot (-1) + 6 \cdot 0 \\ \end{pmatrix} \]

Задача 3

Определитель матрицы A:
Дана матрица:
\[ A = \begin{pmatrix} 8 & x & -2 \\ 5 & 4 & 3 \\ 4 & -1 & -2 \end{pmatrix} \]
Для вычисления определителя 3x3 матрицы используем правило Sarrus или разложение по строке/столбцу. Например, по первой строке:
\[ \text{det}(A) = 8 \cdot \text{det}\begin{pmatrix} 4 & 3 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} - x \cdot \text{det}\begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 4 & -2 \end{pmatrix} - 2 \cdot \text{det}\begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 4 & -1 \end{pmatrix} \]

Задача 4

Решение системы уравнений:

1. \( 8x - 2y - 6z = 32 \)
2. \( 6x - 4y + 3z = -21 \)
3. \( x + 2y + 2z = -3 \)

Для решения можно использовать метод подстановки или метод исключения.
Лучше всего упростить первое уравнение:
\[ 4x - y - 3z = 16 \]

Теперь решаем систему методом подстановки или исключения, последовательно выражая переменные. Это может занять некоторое время, и важно внимательно отслеживать каждое преобразование.

Если вам нужно больше пояснений или помощь по конкретной части, пожалуйста, дайте знать!