Контрольная работа №1 a) Сумму, Вариант I 1) Даны числа z1 = 2 - 2i, z2 = 3 + 4i . Найти: b) разность, c) произведение, d) частное, e) модуль числа

Здравствуйте! Давайте разберемся с данными комплексными числами \( z_1 = 2 - 2i \) и \( z_2 = 3 + 4i \). Находим запрашиваемые операции.

a) Сумма \( z_1 + z_2 \): \[ z_1 + z_2 = (2 - 2i) + (3 + 4i) = (2 + 3) + (-2i + 4i) = 5 + 2i \]

b) Разность \( z_1 - z_2 \): \[ z_1 - z_2 = (2 - 2i) - (3 + 4i) = (2 - 3) + (-2i - 4i) = -1 - 6i \]

c) Произведение \( z_1 \cdot z_2 \): Чтобы найти произведение \( z_1 \cdot z_2 \), воспользуемся формулой: \[ z_1 \cdot z_2 = (2 - 2i)(3 + 4i) \] Сначала раскроем скобки: \[ = 2 \cdot 3 + 2 \cdot 4i - 2i \cdot 3 - 2i \cdot 4i = 6 + 8i - 6i + 8 = 14 + 2i \]

d) Частное \( \frac{z_1}{z_2} \): Чтобы найти частное, воспользуемся формулой: \[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{2 - 2i}{3 + 4i} \cdot \frac{3 - 4i}{3 - 4i} \] Умножим числитель и знаменатель на сопряженное число \( 3 - 4i \): \[ = \frac{(2 - 2i)(3 - 4i)}{(3 + 4i)(3 - 4i)} = \frac{(6 - 8i - 6i + 8)}{3^2 + 4^2} = \frac{14 - 14i}{9 + 16} = \frac{14 - 14i}{25} = \frac{14}{25} - \frac{14}{25}i \]

e) Модуль числа \( z_1 \): Модуль комплексного числа \( z_1 \) вычисляется по формуле: \[ |z_1| = \sqrt{a^2 + b^2} \] где \( z_1 = a + bi \). В нашем случае: \[ |z_1| = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \]

Если есть дополнительные вопросы или нужно подробнее рассмотреть какую-либо часть, дайте знать! Удачи в учебе!