найдите общий вид первообразных F(x) функции f(x)=x⁷-2sinx на R

Для нахождения общего вида первообразных функции \( f(x) = x^7 - 2\sin x \) необходимо выполнить интегрирование данной функции.

Обозначим первообразную функции \( F(x) \). Тогда:

\[ F(x) = \int f(x) \, dx = \int (x^7 - 2\sin x) \, dx. \]

Теперь мы разобьём интеграл на две части:

1. \( \int x^7 \, dx \)
2. \( \int -2\sin x \, dx \)

Решим каждый из этих интегралов по отдельности:

1. Для первого интеграла используем стандартную формулу интегрирования степенной функции:

\[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \]

где \( n = 7 \):

\[ \int x^7 \, dx = \frac{x^8}{8} + C_1. \]

2. Для второго интеграла используем известный интеграл для синуса:

\[ \int \sin x \, dx = -\cos x + C. \]

Поэтому:

\[ \int -2\sin x \, dx = -2(-\cos x) + C_2 = 2\cos x + C_2. \]

Теперь объединим результаты:

\[ F(x) = \frac{x^8}{8} + 2\cos x + C, \]

где \( C = C_1 + C_2 \) — произвольная константа интегрирования.

Таким образом, общий вид первообразных функции \( f(x) = x^7 - 2\sin x \) запишется в виде:

\[ F(x) = \frac{x^8}{8} + 2\cos x + C, \]

где \( C \) — произвольная константа.