-4х²+4х-1≤0
Чтобы решить неравенство \(-4x^2 + 4x - 1 \leq 0\), начнем с анализа его корней. Преобразуем его в более удобный вид:
Умножим все части неравенства на \(-1\), при этом знаки неравенства изменятся: \[ 4x^2 - 4x + 1 \geq 0 \]
Теперь найдем корни квадратного уравнения \(4x^2 - 4x + 1 = 0\) с помощью дискриминанта. Дискриминант находится по формуле: \[ D = b^2 - 4ac \] где \(a = 4\), \(b = -4\), \(c = 1\).
Подставим значения: \[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 16 - 16 = 0 \]
Так как дискриминант равен 0, у нас есть один двойной корень: \[ x = \frac{-b}{2a} = \frac{4}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \]
Теперь мы определим, на каких интервалах неравенство \(4x^2 - 4x + 1 \geq 0\) выполняется. Поскольку это квадратное уравнение открыто вверх и имеет один корень, функция будет принимать положительные значения на всем множестве, кроме точки, где она равна нулю.
Таким образом, неравенство \(4x^2 - 4x + 1 \geq 0\) выполняется для всех \(x\), за исключением точки \(x = \frac{1}{2}\). Мы можем записать ответ в виде: \[ x \in (-\infty; \frac{1}{2}] \cup [\frac{1}{2}; +\infty) \]
Ответ: \(x = \frac{1}{2}\) является единственным значением, при котором неравенство выполняется, и для остальных значений \(x\) неравенство будет истинным.
