Найти уравнение касательной прямой к графику в функции в т.х

Привет! Давай разберемся с задачей по нахождению уравнения касательной к графику функции в заданной точке.

У нас есть функция \( y = x^3 + 2x^2 + 10 \) и точка \( x_0 = -1 \).

Шаги для решения:

1. Найти производную функции. Производная функции \( y = x^3 + 2x^2 + 10 \) будет: \[ y' = 3x^2 + 4x \]

2. Вычислить значение производной в точке \( x_0 = -1 \). Подставляем \( x = -1 \) в производную: \[ y'(-1) = 3(-1)^2 + 4(-1) = 3(1) - 4 = 3 - 4 = -1 \] Это будет угловой коэффициент касательной.

3. Найти \( y \) в точке \( x_0 = -1 \). Подставляем \( x = -1 \) в исходную функцию: \[ y(-1) = (-1)^3 + 2(-1)^2 + 10 = -1 + 2(1) + 10 = -1 + 2 + 10 = 11 \]

4. Составить уравнение касательной. Уравнение касательной: \( y = k(x - x_0) + y_0 \). Где \( k = y'(-1) = -1 \), \( x_0 = -1 \), \( y_0 = 11 \). \[ y = -1(x + 1) + 11 = -x - 1 + 11 = -x + 10 \]

Таким образом, уравнение касательной будет выглядеть как \( y = -x + 10 \).

Если есть вопросы, не стесняйся!