Сократить дробь -12x2+40x-25/20+7x-6x2
Чтобы сократить дробь \(\frac{-12x^2 + 40x - 25}{20 + 7x - 6x^2}\), начнем с упрощения числителя и знаменателя.
Числитель: \(-12x^2 + 40x - 25\). Мы можем попробовать вынести общий множитель. Для простоты, заметим, что все коэффициенты делятся на \(-1\):
\[ -12x^2 + 40x - 25 = -1(12x^2 - 40x + 25) \]
Для дальнейшего упрощения постараемся разложить квадратный трёхчлен \(12x^2 - 40x + 25\). Проведем расчет дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = (-40)^2 - 4 \cdot 12 \cdot 25 = 1600 - 1200 = 400 \]
Теперь находим корни:
\[ x_1, x_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{40 \pm 20}{24} \]
Это даёт нам \(x_1 = \frac{60}{24} = \frac{5}{2}\) и \(x_2 = \frac{20}{24} = \frac{5}{6}\). Значит, разложение будет:
\[ 12x^2 - 40x + 25 = 12 \left( x - \frac{5}{2} \right) \left( x - \frac{5}{6} \right) \]
Знаменатель: \(20 + 7x - 6x^2\) можно переписать в стандартной форме:
\[ -6x^2 + 7x + 20 \]
Так как коэффициенты тоже могут быть упрощены, выносим \(-1\):
\[ - (6x^2 - 7x - 20) \]
Вычислим дискриминант:
\[ D = (-7)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-20) = 49 + 480 = 529 \]
Теперь найдем корни:
\[ x_1, x_2 = \frac{7 \pm \sqrt{529}}{12} = \frac{7 \pm 23}{12} \]
Это даёт \(x_1 = \frac{30}{12} = \frac{5}{2}\) и \(x_2 = \frac{-16}{12} = -\frac{4}{3}\). Значит, разложение знаменателя:
\[ 6x^2 - 7x - 20 = 6 \left( x - \frac{5}{2} \right) \left( x + \frac{4}{3} \right) \]
Теперь можем записать полное выражение:
\[ \frac{-12(x - \frac{5}{2})(x - \frac{5}{6})}{-6(x - \frac{5}{2})(x + \frac{4}{3})} \]
- Упростим дробь, сократив общий множитель \((x - \frac{5}{2})\):
\[ \frac{12(x - \frac{5}{6})}{6(x + \frac{4}{3})} \]
- Наконец, можно сократить коэффициенты:
\[ \frac{2(x - \frac{5}{6})}{x + \frac{4}{3}} \]
Таким образом, окончательная форма дроби:
\[ \frac{2(x - \frac{5}{6})}{x + \frac{4}{3}} \]
Надеюсь, это поможет вам лучше понять, как сокращать дроби! Если есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!
