Найди первообразную функции y=6(4x+8) ³ методом интеграла

Чтобы найти первообразную функции \( y = 6(4x + 8)^3 \) методом интегрирования, мы можем воспользоваться заменой переменной.

Первый шаг — упрощение интеграла:

\[ \int y \, dx = \int 6(4x + 8)^3 \, dx \]

Теперь сделаем замену переменной. Пусть \( u = 4x + 8 \). Тогда для нахождения \( dx \) выразим его через \( du \):

\[ du = 4 \, dx \quad \Rightarrow \quad dx = \frac{du}{4} \]

Также выразим \( 6(4x + 8)^3 \) через \( u \):

\[ y = 6u^3 \]

Теперь подставим это в интеграл:

\[ \int 6(4x + 8)^3 \, dx = \int 6u^3 \cdot \frac{du}{4} \]

Это упростится до:

\[ \int 6u^3 \cdot \frac{1}{4} \, du = \frac{6}{4} \int u^3 \, du = \frac{3}{2} \int u^3 \, du \]

Теперь вычислим интеграл \( \int u^3 \, du \):

\[ \int u^3 \, du = \frac{u^4}{4} + C \]

Подставим это обратно в наш интеграл:

\[ \frac{3}{2} \cdot \frac{u^4}{4} + C = \frac{3}{8} u^4 + C \]

Теперь вернёмся к переменной \( x \), подставив обратно \( u = 4x + 8 \):

\[ \frac{3}{8} (4x + 8)^4 + C \]

Таким образом, первообразная функции \( y = 6(4x + 8)^3 \) равна:

\[ \frac{3}{8} (4x + 8)^4 + C \]

Где \( C \) — произвольная константа интегрирования.