Найди первообразную функции y=6(4x+8) ³

Чтобы найти первообразную функции \( y = 6(4x + 8)^3 \), мы воспользуемся методом интегрирования.

Шаг 1: Упростим выражение. Мы можем выделить константу 6 и интегрировать оставшуюся часть.

Шаг 2: Используем замену переменной. Пусть \( u = 4x + 8 \). Тогда \( du = 4 dx \) или \( dx = \frac{du}{4} \).

Шаг 3: Подставляем \( u \) в выражение:

\[ y = 6u^3 \]

Теперь у нас есть \( dx = \frac{du}{4} \), следовательно:

\[ \int y \, dx = \int 6u^3 \cdot \frac{du}{4} = \frac{6}{4} \int u^3 \, du = \frac{3}{2} \int u^3 \, du \]

Шаг 4: Теперь найдем интеграл \( \int u^3 \, du \):

\[ \int u^3 \, du = \frac{u^4}{4} + C \]

Шаг 5: Подставим обратно \( u = 4x + 8 \):

\[ \int y \, dx = \frac{3}{2} \cdot \left( \frac{(4x + 8)^4}{4} + C \right) = \frac{3(4x + 8)^4}{8} + C \]

Таким образом, первообразная функции \( y = 6(4x + 8)^3 \) будет:

\[ \int 6(4x + 8)^3 \, dx = \frac{3(4x + 8)^4}{8} + C \]

Где \( C \) — произвольная константа интегрирования.