23.2. Упростите выражение: 1) (1 + ctgB)2 + (1 - ctgB)2; 2) sin2 acos2a(tg2a + ctg2a 3) cosB 1 - sinB - + 2); 1 - sinB cosB 4) tg2a 1 + ctg2a 1 + tg2a ctg2a 5) cos'a + sin2a cos2a…
23.2. Упростите выражение: 1) (1 + ctgB)2 + (1 - ctgB)2; 2) sin2 acos2a(tg2a + ctg2a 3) cosB 1 - sinB - + 2); 1 - sinB cosB 4) tg2a 1 + ctg2a 1 + tg2a ctg2a 5) cos'a + sin2a cos2a - cos2a - 1; 6) tg(-a)ctga + sin2(-a).
Давайте упростим каждое из данных выражений поочередно.
- (1 + ctgB)² + (1 - ctgB)²:
Можно использовать формулу квадрата суммы и разности: \[ (1 + ctgB)² = 1 + 2ctgB + ctg²B, \] \[ (1 - ctgB)² = 1 - 2ctgB + ctg²B. \]
Теперь складываем две части: \[ (1 + ctgB)² + (1 - ctgB)² = (1 + 2ctgB + ctg²B) + (1 - 2ctgB + ctg²B) = 2 + 2ctg²B. \]
Таким образом, окончательный ответ: \[ 2 + 2ctg²B. \]
- sin²а cos²a(tg²a + ctg²a):
Здесь мы знаем, что \(tg²a + ctg²a = \frac{sin²a}{cos²a} + \frac{cos²a}{sin²a} = \frac{sin^4a + cos^4a}{sin²a cos²a}\). Обозначим \(x = sin²a\) и \(y = cos²a\), тогда у нас: \[ tg²a + ctg²a = \frac{x^2 + y^2}{xy}. \] А так как \(x + y = 1\), мы можем выразить \(x^2 + y^2 = (x + y)² - 2xy = 1 - 2xy\).
Таким образом, получаем: \[ tg²a + ctg²a = \frac{1 - 2xy}{xy}. \] Теперь подставляем в исходное выражение: \[ sin²а cos²a(tg²a + ctg²a) = xy \cdot \frac{1 - 2xy}{xy} = 1 - 2xy. \]
Таким образом, окончательный ответ: \[ 1 - 2sin²a cos²a. \]
- cosB (1 - sinB - 2) / (1 - sinB cosB):
Упрощаем числитель: \[ cosB(1 - sinB - 2) = cosB(-sinB - 1) = -cosB(sinB + 1). \] Смотрим на знаменатель: \[ 1 - sinB cosB. \] Тогда получаем: \[ \frac{-cosB(sinB + 1)}{1 - sinB cosB}. \]
Окончательный ответ: \[ \frac{-cosB(sinB + 1)}{1 - sinB cosB}. \]
- tg²a (1 + ctg²a) (1 + tg²a ctg²a):
Здесь используем известные формулы: \[ 1 + ctg²a = \frac{1}{sin²a}, \] \[ 1 + tg²a = \frac{1}{cos²a}. \] Следовательно, \[ tg²a (1 + ctg²a) = tg²a \cdot \frac{1}{sin²a} = \frac{tg²a}{sin²a}. \] Затем, \[ 1 + tg²a ctg²a = 1 + 1 = 2. \] Итак, мы получаем: \[ tg²a \cdot 1 = tg²a, \] поэтому окончательный ответ: \[ tg²a \cdot 2 = 2tg²a. \]
- cos²a + sin²a cos²a - cos²a - 1:
Объединим подобные члены: \[ cos²a - cos²a + sin²a cos²a - 1 = sin²a cos²a - 1. \]
Таким образом, окончательный ответ: \[ sin²a cos²a - 1. \]
- tg(-a)ctg(a) + sin²(-a):
Мы знаем, что \(tg(-a) = -tg(a)\) и \(sin(-a) = -sin(a)\): \[ tg(-a)ctg(a) = -tg(a)ctg(a) = -1. \] Также, \[ sin²(-a) = sin²(a). \] Таким образом, мы можем записать: \[ -1 + sin²(a). \]
Таким образом, окончательный ответ: \[ sin²a - 1. \]
Теперь у вас есть упрощенные ответы на все выражения. Если нужно, всегда можно углубиться в каждое из них. Удачи в учёбе!
