Найти длину волны де Бройля для электрона, кинетическая энергия которого равна Т = 0,25 МэВ. Во сколько раз изменится длина волны, если кинетическая энергия электрона увеличится…

Для решения этой задачи начнём с формулы, которая связывает длину волны де Бройля с движущейся частицей:

\[ \lambda = \frac{h}{p} \]

где \( \lambda \) — длина волны де Бройля, \( h \) — постоянная Планка (приблизительно \( 6,626 \times 10^{-34} \) Дж·с), а \( p \) — импульс частицы, который можно выразить через массу и скорость.

Импульс электрона можно также связать с его кинетической энергией. Кинетическая энергия \( T \) электрона определяется как:

\[ T = \frac{p^2}{2m} \]

где \( m \) — масса электрона (примерно \( 9,11 \times 10^{-31} \) кг). Можно выразить импульс как:

\[ p = \sqrt{2mT} \]

Подставив это значение в формулу де Бройля, получим:

\[ \lambda = \frac{h}{\sqrt{2mT}} \]

Теперь, для заданной кинетической энергии \( T = 0,25 \) МэВ, сначала преобразуем её в джоули, используя коэффициент \( 1 \text{ МэВ} \approx 1,602 \times 10^{-13} \text{ Дж} \):

\[ T = 0,25 \text{ МэВ} \times 1,602 \times 10^{-13} \text{ Дж/МэВ} \approx 4,01 \times 10^{-14} \text{ Дж} \]

Теперь можем подставить \( T \) в формулу для длины волны:

\[ \lambda = \frac{h}{\sqrt{2m \cdot 4,01 \times 10^{-14}}} \]

Следующий шаг — рассмотреть, как изменится длина волны, если кинетическая энергия электрона увеличится вдвое. Новая энергия будет:

\[ T_{new} = 2T = 2 \times 4,01 \times 10^{-14} \text{ Дж} = 8,02 \times 10^{-14} \text{ Дж} \]

Теперь мы можем определить новую длину волны по той же формуле:

\[ \lambda_{new} = \frac{h}{\sqrt{2m \cdot 8,02 \times 10^{-14}}} \]

Стоит заметить, что длина волны обратно пропорциональна квадратному корню из энергии:

\[ \lambda \propto \frac{1}{\sqrt{T}} \]

Когда \( T \) увеличивается вдвое:

\[ \lambda_{new} = \frac{h}{\sqrt{2m \cdot 2T}} = \frac{h}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2m \cdot T}} = \frac{\lambda}{\sqrt{2}} \]

Таким образом, длина волны изменится и станет меньше в \(\sqrt{2}\) раз.

В заключение, длина волны де Бройля электрона уменьшится в \(\sqrt{2} \approx 1,414\) раз, если кинетическая энергия электрона увеличится вдвое.