найдите координаты четвертой вершины параллелограмма ABCD и его площадь, если A(2;3;2) B( 2;10;-5) C(9;3;-5)

Чтобы найти координаты четвертой вершины параллелограмма ABCD и его площадь, давайте сначала определим координаты точки D.

1. Координаты точки D. Параллелограмм имеет свойства, что диагонали пересекаются и делятся пополам. Поскольку у нас есть точки A, B и C, мы можем использовать формулу, что координаты точки D можно найти как:

   D = A + C - B.

   Подставим значения: A(2; 3; 2), B(2; 10; -5), C(9; 3; -5):

   D = (2; 3; 2) + (9; 3; -5) - (2; 10; -5).

   Сначала складываем A и C: (2 + 9; 3 + 3; 2 - 5) = (11; 6; -3).

   Теперь вычтем B: D = (11 - 2; 6 - 10; -3 + 5) = (9; -4; 2).

   Таким образом, координаты точки D равны (9; -4; 2).

2. Площадь параллелограмма. Площадь параллелограмма можно найти через векторное произведение векторов, образованных его сторонами.

Сначала найдем векторы AB и AC:

• Вектор AB = B - A = (2 - 2; 10 - 3; -5 - 2) = (0; 7; -7).
• Вектор AC = C - A = (9 - 2; 3 - 3; -5 - 2) = (7; 0; -7).

Теперь найдем векторное произведение AB и AC: \[ AB \times AC = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 7 & -7 \\ 7 & 0 & -7 \end{vmatrix} \]

Посчитаем это определитель: \[ = \mathbf{i}(7 \cdot -7 - 0 \cdot -7) - \mathbf{j}(0 \cdot -7 - 7 \cdot 7) + \mathbf{k}(0 \cdot 0 - 7 \cdot 7) \] \[ = \mathbf{i}(-49) - \mathbf{j}(-49) + \mathbf{k}(0 - 49) \] \[ = -49\mathbf{i} + 49\mathbf{j} - 49\mathbf{k} \] Поэтому, векторное произведение AB и AC равно (-49; 49; -49).

Теперь найдем длину этого векторного произведения (модуль): \[ \|AB \times AC\| = \sqrt{(-49)^2 + (49)^2 + (-49)^2} = \sqrt{2401 + 2401 + 2401} = \sqrt{7203}. \]

Площадь параллелограмма равна длине векторного произведения: \[ S = \|AB \times AC\| = \sqrt{7203} \approx 84.85. \]

Итак, координаты четвертой вершины D равны (9; -4; 2), а площадь параллелограмма примерно равна 84.85.