Напишите уравнения окружности с диаметром MN если: a) M (-3;5), N (7;-3); б) M (2;-1), N (4;3).

Чтобы написать уравнение окружности, нам необходимо знать центр окружности и радиус. Окружность с диаметром MN имеет центр, который является серединой отрезка MN. Радиус равен половине длины отрезка MN.

a) Для точек M (-3; 5) и N (7; -3):

1. Найдем координаты центра. Формула для нахождения середины отрезка: \[ C\left(\frac{x_1 + x_2}{2}; \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \] Подставляя координаты точек M и N: \[ C\left(\frac{-3 + 7}{2}; \frac{5 - 3}{2}\right) = C\left(\frac{4}{2}; \frac{2}{2}\right) = C(2; 1) \]

2. Найдем радиус (половина длины отрезка MN). Сначала найдем длину отрезка MN: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] Подставляя: \[ d = \sqrt{(7 - (-3))^2 + (-3 - 5)^2} = \sqrt{(7 + 3)^2 + (-8)^2} = \sqrt{10^2 + (-8)^2} = \sqrt{100 + 64} = \sqrt{164} \] Радиус \( r = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{164}}{2} \).

3. Запишем уравнение окружности. Уравнение окружности имеет вид: \[ (x - C_x)^2 + (y - C_y)^2 = r^2 \] Подставляя значения: \[ (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = \left(\frac{\sqrt{164}}{2}\right)^2 \] Упрощая, получаем: \[ (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = \frac{164}{4} = 41 \]

Уравнение для a):

\[ (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 41 \]

б) Для точек M (2; -1) и N (4; 3):

1. Найдем координаты центра: \[ C\left(\frac{2 + 4}{2}; \frac{-1 + 3}{2}\right) = C\left(\frac{6}{2}; \frac{2}{2}\right) = C(3; 1) \]

2. Найдем радиус: \[ d = \sqrt{(4 - 2)^2 + (3 - (-1))^2} = \sqrt{(2)^2 + (4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} \] Радиус \( r = \frac{\sqrt{20}}{2} = \frac{\sqrt{20}}{2} = \sqrt{5} \).

3. Запишем уравнение окружности: \[ (x - 3)^2 + (y - 1)^2 = r^2 \] Подставляя значения: \[ (x - 3)^2 + (y - 1)^2 = (\sqrt{5})^2 = 5 \]

Уравнение для б):

\[ (x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 5 \]

Эти уравнения описывают окружности с заданными диаметрами!