|5 - |x + 1|| = x + 3
Чтобы решить уравнение \(5 - |x + 1| = x + 3\), начнем с изоляции абсолютного значения.
Переносим \(x + 3\) на левую сторону уравнения: \[ 5 - |x + 1| - (x + 3) = 0 \] Это упрощается до: \[ 2 - |x + 1| - x = 0 \] И снова упрощаем: \[ 2 - x - |x + 1| = 0 \]
Теперь решим это уравнение для двух случаев, поскольку у нас есть абсолютное значение.
Случай 1: \(x + 1 \geq 0\) (то есть \(x \geq -1\))
В этом случае \( |x + 1| = x + 1 \). Подставляем в уравнение: \[ 2 - x - (x + 1) = 0 \] Упрощаем: \[ 2 - x - x - 1 = 0 \] \[ 1 - 2x = 0 \] Следовательно, \(2x = 1\), отсюда \(x = \frac{1}{2}\).
Случай 2: \(x + 1 < 0\) (то есть \(x < -1\))
В этом случае \( |x + 1| = -(x + 1) = -x - 1 \). Подставляем это в уравнение: \[ 2 - x - (-x - 1) = 0 \] Упрощаем: \[ 2 - x + x + 1 = 0 \] \[ 3 = 0 \] Это уравнение не имеет решений, поскольку это невозможно.
Теперь рассмотрим найденные решения. Мы обнаружили, что единственным решением является \(x = \frac{1}{2}\).
- Проверяем, соответствует ли это условию \(x \geq -1\): \( \frac{1}{2} \geq -1\) - это верно.
Таким образом, окончательное решение уравнения:
\[ x = \frac{1}{2} \]
