Промежутки знакопостоянства функции y=2(x-3)²-2
Чтобы найти промежутки знакопостоянства функции \( y = 2(x-3)^2 - 2 \), сначала определим, когда функция больше нуля, меньше нуля или равна нулю.
Находим нули функции:
Для этого приравняем \( y \) к нулю:
\[ 2(x-3)^2 - 2 = 0 \]
Упрощаем уравнение:
\[ 2(x-3)^2 = 2 \]
\[ (x-3)^2 = 1 \]
Извлечем корень:
\[ x - 3 = \pm 1 \]
Значит, \( x = 3 + 1 = 4 \) и \( x = 3 - 1 = 2 \).
Определяем знак функции:
Теперь у нас есть нули \( x = 2 \) и \( x = 4 \). Мы разобьем числовую ось на три промежутка:
- \( (-\infty, 2) \)
- \( (2, 4) \)
- \( (4, +\infty) \)
Проверим знак функции в каждом промежутке:
Для \( x < 2 \) (например, \( x = 1 \)): \[ y = 2(1-3)^2 - 2 = 2(4) - 2 = 8 - 2 = 6 \quad (> 0) \]
Для \( 2 < x < 4 \) (например, \( x = 3 \)): \[ y = 2(3-3)^2 - 2 = 2(0) - 2 = -2 \quad (< 0) \]
Для \( x > 4 \) (например, \( x = 5 \)): \[ y = 2(5-3)^2 - 2 = 2(4) - 2 = 8 - 2 = 6 \quad (> 0) \]
Записываем промежутки знакопостоянства:
- Функция положительна на промежутках \( (-\infty, 2) \) и \( (4, +\infty) \).
- Функция отрицательна на промежутке \( (2, 4) \).
- В точках \( x = 2 \) и \( x = 4 \) функция равна нулю.
Таким образом, мы имеем:
- \( y > 0 \) на \( (-\infty, 2) \) и \( (4, +\infty) \)
- \( y < 0 \) на \( (2, 4) \)
- \( y = 0 \) в точках \( x = 2 \) и \( x = 4 \)
Если у вас есть дополнительные вопросы по этой или другой теме, не стесняйтесь спросить!
