В кубе ABCDA1B1C1D1 на ребре DD1 выбрана точка Е так, что DE : ED1 = 1 : 3. Вычислите косинус угла между прямыми АЕ и СЕ

Question 1

Задача Задача №2146174

А

Аноним

08 ноября 2024 12:20 · публичный вопрос

А

Аноним 08 ноября 2024 12:20

В кубе ABCDA1B1C1D1 на ребре DD1 выбрана точка Е так, что DE : ED1 = 1 : 3. Вычислите косинус угла между прямыми АЕ и СЕ

Answer

В кубе ABCDA1B1C1D1 обозначим координаты его вершин:

A(0, 0, 0),
B(1, 0, 0),
C(1, 1, 0),
D(0, 1, 0),
A1(0, 0, 1),
B1(1, 0, 1),
C1(1, 1, 1),
D1(0, 1, 1).

Точка E находится на ребре DD1. Поскольку DE : ED1 = 1 : 3, это значит, что DE = \(\frac{1}{4} DD1\) и ED1 = \(\frac{3}{4} DD1\). Длина ребра DD1 равна 1, поэтому DE = \(\frac{1}{4}\) и ED1 = \(\frac{3}{4}\).

Теперь найдем координаты точки E на ребре DD1. Ребро DD1 соединяет точки D(0, 1, 0) и D1(0, 1, 1). Поскольку мы движемся от D к D1, координаты E будут: \[ E = D + \frac{1}{4}(D1 - D) = (0, 1, 0) + \frac{1}{4}((0, 1, 1) - (0, 1, 0)) = (0, 1, 0) + \frac{1}{4}(0, 0, 1) = \left(0, 1, \frac{1}{4}\right). \]

Теперь мы можем определить векторы AE и CE:

Вектор AE: \[ AE = E - A = \left(0, 1, \frac{1}{4}\right) - (0, 0, 0) = (0, 1, \frac{1}{4}). \]
Вектор CE: \[ CE = E - C = \left(0, 1, \frac{1}{4}\right) - (1, 1, 0) = \left(-1, 0, \frac{1}{4}\right). \]

Теперь вычислим косинус угла между векторами AE и CE. Для этого воспользуемся формулой: \[ \cos \theta = \frac{AE \cdot CE}{|AE| |CE|}, \] где \( AE \cdot CE \) - скалярное произведение векторов, а \( |AE| \) и \( |CE| \) - их длины.

Вычислим скалярное произведение AE и CE: \[ AE \cdot CE = (0, 1, \frac{1}{4}) \cdot (-1, 0, \frac{1}{4}) = 0 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = 0 + 0 + \frac{1}{16} = \frac{1}{16}. \]

Теперь найдем длины векторов: \[ |AE| = \sqrt{0^2 + 1^2 + \left(\frac{1}{4}\right)^2} = \sqrt{0 + 1 + \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{16}{16} + \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{17}{16}} = \frac{\sqrt{17}}{4}, \] \[ |CE| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + \left(\frac{1}{4}\right)^2} = \sqrt{1 + 0 + \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{16}{16} + \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{17}{16}} = \frac{\sqrt{17}}{4}. \]

Теперь подставим все в формулу для косинуса: \[ \cos \theta = \frac{\frac{1}{16}}{\left(\frac{\sqrt{17}}{4}\right) \left(\frac{\sqrt{17}}{4}\right)} = \frac{\frac{1}{16}}{\frac{17}{16}} = \frac{1}{17}. \]

Таким образом, косинус угла между прямыми AE и CE равен \(\frac{1}{17}\).

Question 2

В кубе ABCDA1B1C1D1 на ребре DD1 выбрана точка Е так, что DE : ED1 = 1 : 3. Вычислите косинус угла между прямыми АЕ и СЕ

Answer

В кубе ABCDA1B1C1D1 обозначим координаты его вершин: - A(0, 0, 0), - B(1, 0, 0), - C(1, 1, 0), - D(0, 1, 0), - A1(0, 0, 1), - B1(1, 0, 1), - C1(1, 1, 1), - D1(0, 1, 1). Точка E находится на ребре DD1. Поскольку DE : ED1 = 1 : 3, это значит, что DE = \(\frac{1}{4} DD1\) и ED1 = \(\frac{3}{4} DD1\). Длина ребра DD1 равна 1, поэтому DE = \(\frac{1}{4}\) и ED1 = \(\frac{3}{4}\). Теперь найдем координаты точки E на ребре DD1. Ребро DD1 соединяет точки D(0, 1, 0) и D1(0, 1, 1). Поскольку мы движемся от D к D1, координаты E будут: \[ E = D + \frac{1}{4}(D1 - D) = (0, 1, 0) + \frac{1}{4}((0, 1, 1) - (0, 1, 0)) = (0, 1, 0) + \frac{1}{4}(0, 0, 1) = \left(0, 1, \frac{1}{4}\right). \] Теперь мы можем определить векторы AE и CE: - Вектор AE: \[ AE = E - A = \left(0, 1, \frac{1}{4}\right) - (0, 0, 0) = (0, 1, \frac{1}{4}). \] - Вектор CE: \[ CE = E - C = \left(0, 1, \frac{1}{4}\right) - (1, 1, 0) = \left(-1, 0, \frac{1}{4}\right). \] Теперь вычислим косинус угла между векторами AE и CE. Для этого воспользуемся формулой: \[ \cos \theta = \frac{AE \cdot CE}{|AE| |CE|}, \] где \( AE \cdot CE \) - скалярное произведение векторов, а \( |AE| \) и \( |CE| \) - их длины. Вычислим скалярное произведение AE и CE: \[ AE \cdot CE = (0, 1, \frac{1}{4}) \cdot (-1, 0, \frac{1}{4}) = 0 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = 0 + 0 + \frac{1}{16} = \frac{1}{16}. \] Теперь найдем длины векторов: \[ |AE| = \sqrt{0^2 + 1^2 + \left(\frac{1}{4}\right)^2} = \sqrt{0 + 1 + \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{16}{16} + \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{17}{16}} = \frac{\sqrt{17}}{4}, \] \[ |CE| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + \left(\frac{1}{4}\right)^2} = \sqrt{1 + 0 + \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{16}{16} + \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{17}{16}} = \frac{\sqrt{17}}{4}. \] Теперь подставим все в формулу для косинуса: \[ \cos \theta = \frac{\frac{1}{16}}{\left(\frac{\sqrt{17}}{4}\right) \left(\frac{\sqrt{17}}{4}\right)} = \frac{\frac{1}{16}}{\frac{17}{16}} = \frac{1}{17}. \] Таким образом, косинус угла между прямыми AE и CE равен \(\frac{1}{17}\).