ctg=-√3. x принадлежит [-2п,2п]

Для решения уравнения \( \cot(x) = -\sqrt{3} \) мы можем воспользоваться тем, что котангенс равен отрицательному значению, которое означает, что угол находится в II и IV квадрантах.

Значение \( \cot(x) = -\sqrt{3} \) соответствует углам:

1. \( x = \frac{5\pi}{6} + k\pi \) (II квадрант)
2. \( x = \frac{11\pi}{6} + k\pi \) (IV квадрант)

где \( k \) - целое число.

Теперь нам нужно найти все решения в пределах от \( -2\pi \) до \( 2\pi \).

Проведем поиск:

1. Для \( k = -2 \):

   • \( x = \frac{5\pi}{6} - 2\pi = \frac{5\pi - 12\pi}{6} = -\frac{7\pi}{6} \)
   • \( x = \frac{11\pi}{6} - 2\pi = \frac{11\pi - 12\pi}{6} = -\frac{\pi}{6} \)

2. Для \( k = -1 \):

   • \( x = \frac{5\pi}{6} - \pi = \frac{5\pi - 6\pi}{6} = -\frac{\pi}{6} \) (уже найдено)
   • \( x = \frac{11\pi}{6} - \pi = \frac{11\pi - 6\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} \)

3. Для \( k = 0 \):

   • \( x = \frac{5\pi}{6} \) (уже найдено)
   • \( x = \frac{11\pi}{6} \)

4. Для \( k = 1 \):

   • \( x = \frac{5\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi + 6\pi}{6} = \frac{11\pi}{6} \) (уже найдено)
   • \( x = \frac{11\pi}{6} + \pi = \frac{11\pi + 6\pi}{6} = \frac{17\pi}{6} \) (не подходит, так как больше \( 2\pi \))

5. Для \( k = 2 \):

   • Необходимо учитывать что углы должны быть менее \( 2\pi \).

Итак, все уникальные решения уравнения \( \cot(x) = -\sqrt{3} \) в диапазоне \( [-2\pi, 2\pi] \):

1. \( x = -\frac{7\pi}{6} \)
2. \( x = -\frac{\pi}{6} \)
3. \( x = \frac{5\pi}{6} \)
4. \( x = \frac{11\pi}{6} \)

Таким образом, все решения представлены. Если есть еще вопросы или нужно больше информации, не стесняйтесь спрашивать!