решить максимально подробно: ((x^4-√x)/x)'
Чтобы решить данный предел, начнем с анализа функции и применения правил дифференцирования. У нас есть выражение:
\[ f(x) = \frac{x^4 - \sqrt{x}}{x} \]
Прежде чем вычислить производную, упростим данное выражение. Разделим каждый элемент в числителе на \(x\):
\[ f(x) = x^3 - \frac{\sqrt{x}}{x} = x^3 - x^{-1/2} \]
Теперь, чтобы найти производную \(f'(x)\), воспользуемся правилами дифференцирования. В данном случае мы применяем правило дифференцирования степенных функций:
- Производная \(x^n\) равна \(nx^{n-1}\).
- Для \(x^{-1/2}\) производная будет \(-\frac{1}{2}x^{-3/2}\).
Теперь найдем производную:
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}(x^{-1/2}) = 3x^2 - \left(-\frac{1}{2}x^{-3/2}\right) \]
Таким образом, мы получаем:
\[ f'(x) = 3x^2 + \frac{1}{2}x^{-3/2} \]
Теперь можно привести к единому дробному виду:
\[ f'(x) = 3x^2 + \frac{1}{2\sqrt{x^3}} \]
В итоге, производная функции \(f(x)\) равна:
\[ f'(x) = 3x^2 + \frac{1}{2}x^{-3/2} \]
Выводим это окончательное выражение. Если есть какие-то вопросы по определённым шагам или нужно разобраться с другими аспектами, не стесняйтесь задавать!
