Два юноши и две девушки тянут жребий –– четыре спички, из которых две короткие и две длинные. Рассмотрим случайные события A= {хотя бы одна короткая спичка досталась девушке}, B= {среди тех, кто вытянул короткую спичку, ровно один юноша}. а) Сформулируйте словами событие A ∩ B. б) Найдите вероятности событий A и A ∩ B

Рассмотрим задачу о жребии с участием двух юношей и двух девушек, которые тянут жребий из четырех спичек (двух коротких и двух длинных).

а) Событие \( A \cap B \) означает, что произошло два условия одновременно:

1. Хотя бы одна короткая спичка досталась девушке (событие \( A \)).
2. Среди тех, кто вытянул короткую спичку, ровно один юноша (событие \( B \)).

Таким образом, событие \( A \cap B \) можно сформулировать так: «Хотя бы одна короткая спичка досталась девушке, и среди тех, кто вытянул короткую спичку, ровно один юноша».

б) Теперь найдем вероятности событий \( A \) и \( A \cap B \).

1. Найдём вероятность события A.

Чтобы найти вероятность события \( A \), рассмотрим возможные варианты распределения коротких и длинных спичек:

• Всего существует \( C(4, 2) = 6 \) способов выбрать 2 короткие спички (из 4 спичек).
• Событие \( A \) включает в себя все случаи, в которых хотя бы одна короткая спичка досталась девушке. Мы можем посчитать вероятность \( A \) через дополнение: Сначала найдем вероятность того, что обе короткие спички достаются юношам.

Для того чтобы обе короткие спички достались юношам, необходимо, чтобы из двух коротких спичек выбрали обе для юношей. Это можно сделать только одним способом:

• \( C(2, 2) \) для юношей и \( C(2, 0) \) для девушек: всего 1 способ.

Таким образом, вероятность того, что обе короткие спички достались юношам: \[ P(A') = \frac{1}{6} \] где \( A' \) – дополнение события \( A \).

Следовательно, \[ P(A) = 1 - P(A') = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}. \]

2. Теперь найдем вероятность события \( A \cap B \).

Событие \( B \) подразумевает, что среди тех, кто вытянул короткую спичку, один — юноша и один — девушка. Это означает, что одна короткая спичка должна дойти до юноши, а другая — до девушки.

Мы можем выделить следующие ситуации:

• Юноша получает короткую спичку и одна из девушек получает короткую спичку.

Таким образом, среди всех возможных благоприятных исходов:

• При нашем условии, успешные события, в которых один юноша и одна девушка получают короткие спички: Юн — Дл, Дев — К (1 случай) и Юн — К, Дев — Дл (1 случай).

Общее количество благоприятных исходов (из всех комбинаций, где хотя бы одна короткая спичка у девушек, и ровно один юноша получает короткую спичку) равно 2.

Следовательно, вероятность \( A \cap B \): \[ P(A \cap B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}. \]

Таким образом, мы имеем:

• \( P(A) = \frac{5}{6} \)
• \( P(A \cap B) = \frac{1}{3} \).

Если возникнут дополнительные вопросы или нужен более глубокий анализ, с радостью помогу!