(x²-2x) (x²-2x-7) =8

Решим уравнение \( (x^2 - 2x)(x^2 - 2x - 7) = 8 \).

Давайте начнем с введения замен. Обозначим \( y = x^2 - 2x \). Тогда уравнение превращается в:

\[ y(y - 7) = 8 \]

Это можно привести к стандартному виду:

\[ y^2 - 7y - 8 = 0 \]

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант \( D \) равен:

\[ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81 \]

Так как дискриминант положителен, у уравнения есть два различных корня. Находим корни по формуле:

\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm 9}{2} \]

Это дает нам два решения:

1. \( y_1 = \frac{16}{2} = 8 \)
2. \( y_2 = \frac{-2}{2} = -1 \)

Теперь возвратимся к переменной \( x \).

1. Для первого случая \( y = 8 \): \[ x^2 - 2x = 8 \quad \Rightarrow \quad x^2 - 2x - 8 = 0 \]

Находим дискриминант: \[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \]

Теперь находим корни: \[ x = \frac{2 \pm 6}{2} \implies x_1 = 4, \quad x_2 = -2 \]

2. Для второго случая \( y = -1 \): \[ x^2 - 2x = -1 \quad \Rightarrow \quad x^2 - 2x + 1 = 0 \]

Находим корни: \[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 0 \]

У нас есть один корень: \[ x = \frac{2}{2} = 1 \]

Таким образом, финальные решения уравнения:

\[ x = 4, \quad x = -2, \quad x = 1 \]

Если есть еще вопросы по этой теме или другим учебным материалам, не стесняйтесь спрашивать!