Գտե՛ք բոլոր այն բնական n (4n ^ 2 - 4n + 6)/(2n + 1) թվերը, որոնց համար բնական թիվ է
Чтобы найти все натуральные числа \( n \), для которых выражение \(\frac{4n^2 - 4n + 6}{2n + 1}\) является натуральным числом, начнем с рассмотрения данного выражения.
Упрощение выражения: \[ \frac{4n^2 - 4n + 6}{2n + 1} \] Мы можем использовать деление многочленов, чтобы упростить это выражение. Разделим числитель на знаменатель:
Разделим \( 4n^2 \) на \( 2n + 1 \):
- \( 4n^2 \div 2n = 2n \)
Умножим \( 2n \) на \( 2n + 1 \) и вычтем из числителя: \[ \begin{align*} 4n^2 - 4n + 6 - (2n(2n + 1)) & = 4n^2 - 4n + 6 - (4n^2 + 2n) \\ & = -6n + 6 \end{align*} \]
Теперь наш результат: \[ 2n + \frac{-6n + 6}{2n + 1} \] Таким образом, выражение примет вид: \[ 2n + \frac{6(1 - n)}{2n + 1} \] Чтобы данное выражение было натуральным числом, дробь \(\frac{6(1 - n)}{2n + 1}\) также должна быть натуральным числом.
Условие натуральности дроби: Дробь \(\frac{6(1 - n)}{2n + 1}\) будет натуральным числом, если \( 2n + 1 \) делит \( 6(1 - n) \).
Обозначим: \[ k = 6(1 - n) \] Это выражение показывает, что \( n \) должно быть меньше 1 для того, чтобы \( k \) было положительным.
Проверим натуральные значения \( n \):
- Если \( n = 1 \): \[ \frac{6(1 - 1)}{2(1) + 1} = 0 \quad (\text{не натуральное}) \]
- Если \( n = 2 \): \[ \frac{6(1 - 2)}{2(2) + 1} = \frac{-6}{5} \quad (\text{не натуральное}) \]
Непосредственно подставляя:
- \( n = 3 \) и далее, получим отрицательные значения для \( k \).
Таким образом, у нас нет натуральных \( n \), для которых выражение является натуральным числом. Все возможные проверки приводят нас к тому, что \( n \) должно быть меньше 1, но натуральные числа начинают с 1.
В итоге, решение: не существует натуральных чисел \( n \), для которых значение выражения является натуральным числом.
