К закреплённой в лапке штатива пружине подвешен стакан вместимостью 100мл, заполненный керосином. При этом пружина растянута на 12,6см. Если половину керосина из стакана удалить, то растяжение пружины составляет 7см. Определите массу стакана и жесткость пружины (округлите до десятых Н/м).

Question 1

Задача Задача №2148447

А

Аноним

08 ноября 2024 16:31 · публичный вопрос

А

Аноним 08 ноября 2024 16:31

К закреплённой в лапке штатива пружине подвешен стакан вместимостью 100мл, заполненный керосином. При этом пружина растянута на 12,6см. Если половину керосина из стакана удалить, то растяжение пружины составляет 7см. Определите массу стакана и жесткость пружины (округлите до десятых Н/м).

Answer

Чтобы решить эту задачу, давайте сначала обозначим необходимые параметры и применим закон Гука, который описывает поведение пружины. Закон Гука гласит, что сила, вызывающая деформацию пружины, пропорциональна растяжению:

\[ F = k \cdot x \]

где:

\( F \) — сила, приложенная к пружине (в данном случае вес стакана с керосином),
\( k \) — жесткость пружины,
\( x \) — растяжение пружины.

Шаг 1: Рассчитаем массу стакана с керосином

Пусть масса стакана обозначается как \( m \), а плотность керосина — как \( \rho \approx 800 \, \text{кг/м}^3 \). Объем стакана равен 100 мл, что соответствует \( 0,1 \, \text{л} = 0,0001 \, \text{м}^3 \).

Полный вес стакана с керосином можно выразить в двух состояниях:

Когда стакан полный (вместимость 100 мл, масса керосина \( m_1 \)):
\[ F_1 = (m + m_1) \cdot g = (m + \rho \cdot V) \cdot g = (m + 800 \cdot 0,0001) \cdot 9.81 \]
Когда керосин наполовину удален (массa керосина \( m_2 \)):
\[ F_2 = (m + m_2) \cdot g = (m + \rho \cdot \frac{V}{2}) \cdot g = (m + 800 \cdot 0,00005) \cdot 9.81 \]

Шаг 2: Определим силы

При растяжении пружины на 12,6 см (\( x_1 = 0,126 \, \text{м} \)):
\[ F_1 = k \cdot 0.126 \]
При растяжении пружины на 7 см (\( x_2 = 0,07 \, \text{м} \)):
\[ F_2 = k \cdot 0.07 \]

Шаг 3: Подставим значения

У нас есть два уравнения:

\( (m + 800 \cdot 0.0001) \cdot 9.81 = k \cdot 0.126 \)
\( (m + 800 \cdot 0.00005) \cdot 9.81 = k \cdot 0.07 \)

Шаг 4: Разрешим систему уравнений

Разделим оба уравнения на 9.81:

\( m + 0.08 = \frac{k \cdot 0.126}{9.81} \)
\( m + 0.04 = \frac{k \cdot 0.07}{9.81} \)

Теперь можем выразить массу из одного уравнения и подставить во второе:

Из первого уравнения: \[ m = \frac{k \cdot 0.126}{9.81} - 0.08 \]

Подставим \( m \) во второе уравнение: \[ \frac{k \cdot 0.126}{9.81} - 0.08 + 0.04 = \frac{k \cdot 0.07}{9.81} \]

Упрощая это уравнение, получим: \[ \frac{k \cdot 0.126}{9.81} - 0.04 = \frac{k \cdot 0.07}{9.81} \]

Шаг 5: Найдем жесткость пружины \( k \)

\[ k \cdot 0.126 - k \cdot 0.07 = 9.81 \cdot 0.04 \] \[ k (0.126 - 0.07) = 0.3924 \] \[ k \cdot 0.056 = 0.3924 \] \[ k = \frac{0.3924}{0.056} \approx 7.01 \, \text{Н/м} \]

Округляем до десятых: \[ k \approx 7.0 \, \text{Н/м} \]

Шаг 6: Найдем массу стакана

Теперь можем найти массу стакана: Подставим значение \( k \) в одно из уравнений для получения \( m \): \[ m = \frac{7 \cdot 0.126}{9.81} - 0.08 \approx \frac{0.882}{9.81} - 0.08 \approx 0.09 - 0.08 \approx 0.01 \, \text{кг} = 10 \, \text{г} \]

Ответ

Масса стакана примерно равна 10 г, жесткость пружины составляет 7,0 Н/м.

Question 2

К закреплённой в лапке штатива пружине подвешен стакан вместимостью 100мл, заполненный керосином. При этом пружина растянута на 12,6см. Если половину керосина из стакана удалить, то растяжение пружины составляет 7см. Определите массу стакана и жесткость пружины (округлите до десятых Н/м).

Answer

Чтобы решить эту задачу, давайте сначала обозначим необходимые параметры и применим закон Гука, который описывает поведение пружины. Закон Гука гласит, что сила, вызывающая деформацию пружины, пропорциональна растяжению: \[ F = k \cdot x \] где: - \( F \) — сила, приложенная к пружине (в данном случае вес стакана с керосином), - \( k \) — жесткость пружины, - \( x \) — растяжение пружины. ### Шаг 1: Рассчитаем массу стакана с керосином Пусть масса стакана обозначается как \( m \), а плотность керосина — как \( \rho \approx 800 \, \text{кг/м}^3 \). Объем стакана равен 100 мл, что соответствует \( 0,1 \, \text{л} = 0,0001 \, \text{м}^3 \). Полный вес стакана с керосином можно выразить в двух состояниях: 1. Когда стакан полный (вместимость 100 мл, масса керосина \( m_1 \)): \[ F_1 = (m + m_1) \cdot g = (m + \rho \cdot V) \cdot g = (m + 800 \cdot 0,0001) \cdot 9.81 \] 2. Когда керосин наполовину удален (массa керосина \( m_2 \)): \[ F_2 = (m + m_2) \cdot g = (m + \rho \cdot \frac{V}{2}) \cdot g = (m + 800 \cdot 0,00005) \cdot 9.81 \] ### Шаг 2: Определим силы 1. При растяжении пружины на 12,6 см (\( x_1 = 0,126 \, \text{м} \)): \[ F_1 = k \cdot 0.126 \] 2. При растяжении пружины на 7 см (\( x_2 = 0,07 \, \text{м} \)): \[ F_2 = k \cdot 0.07 \] ### Шаг 3: Подставим значения У нас есть два уравнения: - \( (m + 800 \cdot 0.0001) \cdot 9.81 = k \cdot 0.126 \) - \( (m + 800 \cdot 0.00005) \cdot 9.81 = k \cdot 0.07 \) ### Шаг 4: Разрешим систему уравнений Разделим оба уравнения на 9.81: 1. \( m + 0.08 = \frac{k \cdot 0.126}{9.81} \) 2. \( m + 0.04 = \frac{k \cdot 0.07}{9.81} \) Теперь можем выразить массу из одного уравнения и подставить во второе: Из первого уравнения: \[ m = \frac{k \cdot 0.126}{9.81} - 0.08 \] Подставим \( m \) во второе уравнение: \[ \frac{k \cdot 0.126}{9.81} - 0.08 + 0.04 = \frac{k \cdot 0.07}{9.81} \] Упрощая это уравнение, получим: \[ \frac{k \cdot 0.126}{9.81} - 0.04 = \frac{k \cdot 0.07}{9.81} \] ### Шаг 5: Найдем жесткость пружины \( k \) \[ k \cdot 0.126 - k \cdot 0.07 = 9.81 \cdot 0.04 \] \[ k (0.126 - 0.07) = 0.3924 \] \[ k \cdot 0.056 = 0.3924 \] \[ k = \frac{0.3924}{0.056} \approx 7.01 \, \text{Н/м} \] Округляем до десятых: \[ k \approx 7.0 \, \text{Н/м} \] ### Шаг 6: Найдем массу стакана Теперь можем найти массу стакана: Подставим значение \( k \) в одно из уравнений для получения \( m \): \[ m = \frac{7 \cdot 0.126}{9.81} - 0.08 \approx \frac{0.882}{9.81} - 0.08 \approx 0.09 - 0.08 \approx 0.01 \, \text{кг} = 10 \, \text{г} \] ### Ответ Масса стакана примерно равна 10 г, жесткость пружины составляет 7,0 Н/м.