Х-4/х-3 + 6/ х2 -9 = 1/2
Давайте решим уравнение:
\[ \frac{x-4}{x-3} + \frac{6}{x^2 - 9} = \frac{1}{2}. \]
Сначала упростим выражение. Обратите внимание, что \(x^2 - 9\) можно разложить как \((x-3)(x+3)\). Тогда уравнение становится:
\[ \frac{x-4}{x-3} + \frac{6}{(x-3)(x+3)} = \frac{1}{2}. \]
Теперь, чтобы избавиться от дробей, найдем общий знаменатель для левой части. Общий знаменатель будет \((x-3)(x+3)\). Умножим все части уравнения на этот знаменатель:
\[ (x-4)(x+3) + 6 = \frac{1}{2} (x-3)(x+3). \]
Теперь раскроем скобки:
Слева: \[ (x-4)(x+3) = x^2 + 3x - 4x - 12 = x^2 - x - 12. \] И, добавляя 6: \[ x^2 - x - 12 + 6 = x^2 - x - 6. \]
Справа: \[ \frac{1}{2} (x^2 - 9) = \frac{1}{2} x^2 - \frac{9}{2}. \]
Теперь у нас есть: \[ x^2 - x - 6 = \frac{1}{2} x^2 - \frac{9}{2}. \]
Умножим все уравнение на 2, чтобы избавиться от дробей: \[ 2(x^2 - x - 6) = x^2 - 9. \]
Это даёт: \[ 2x^2 - 2x - 12 = x^2 - 9. \]
Переносим все элементы в одну сторону: \[ 2x^2 - x^2 - 2x - 12 + 9 = 0, \] что упрощается до: \[ x^2 - 2x - 3 = 0. \]
Теперь можем решить это квадратное уравнение с помощью факторизации: \[ (x-3)(x+1) = 0. \]
Отсюда получаем два решения: \[ x = 3 \quad \text{и} \quad x = -1. \]
Проверим, не приводит ли какое-либо из найденных значений к делению на ноль в исходном уравнении. Подставляя:
- Для \(x = 3\): в знаменателе появится \(3 - 3 = 0\).
- Для \(x = -1\): \(x - 3 = -4\) и \(x^2 - 9 = -8\), что корректно.
Таким образом, окончательное решение \(x = -1\).
