Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 83–√ . Найдите длину стороны этого треугольника.

Для нахождения длины стороны равностороннего треугольника, вписанной окружности которого радиус равен \( r \), можно воспользоваться формулой:

\[ r = \frac{a \sqrt{3}}{6} \]

где \( r \) — радиус вписанной окружности, а \( a \) — длина стороны равностороннего треугольника.

В вашем случае радиус \( r \) равен \( 83 - \sqrt{3} \). Подставим это значение в формулу:

\[ 83 - \sqrt{3} = \frac{a \sqrt{3}}{6} \]

Теперь умножим обе стороны уравнения на 6:

\[ 6(83 - \sqrt{3}) = a \sqrt{3} \]

Упрощаем:

\[ 498 - 6\sqrt{3} = a \sqrt{3} \]

Теперь решим уравнение для \( a \):

\[ a = \frac{498 - 6\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \]

Чтобы избавиться от дроби, можно умножить числитель и знаменатель на \( \sqrt{3} \):

\[ a = \frac{(498 - 6\sqrt{3}) \sqrt{3}}{3} \]

После упрощения получаем:

\[ a = \frac{498\sqrt{3}}{3} - 2\sqrt{3} = 166\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = (166 - 2)\sqrt{3} = 164\sqrt{3} \]

Таким образом, длина стороны равностороннего треугольника составляет \( 164\sqrt{3} \).