Для нахождения длины стороны равностороннего треугольника, вписанной окружности которого радиус равен ( r ), можно воспользоваться формулой:
[
r = \frac{a \sqrt{3}}{6}
]
где ( r ) — радиус вписанной окружности, а ( a ) — длина стороны равностороннего треугольника.
В вашем случае радиус ( r ) равен ( 83 - \sqrt{3} ). Подставим это значение в формулу:
[
83 - \sqrt{3} = \frac{a \sqrt{3}}{6}
]
Теперь умножим обе стороны уравнения на 6:
[
6(83 - \sqrt{3}) = a \sqrt{3}
]
Упрощаем:
[
498 - 6\sqrt{3} = a \sqrt{3}
]
Теперь решим уравнение для ( a ):
[
a = \frac{498 - 6\sqrt{3}}{\sqrt{3}}
]
Чтобы избавиться от дроби, можно умножить числитель и знаменатель на ( \sqrt{3} ):
[
a = \frac{(498 - 6\sqrt{3}) \sqrt{3}}{3}
]
После упрощения получаем:
[
a = \frac{498\sqrt{3}}{3} - 2\sqrt{3} = 166\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = (166 - 2)\sqrt{3} = 164\sqrt{3}
]
Таким образом, длина стороны равностороннего треугольника составляет ( 164\sqrt{3} ).
