(cosa-3sina)/(sina+4cosa),tg a=-3

Чтобы решить выражение \(\frac{\cos 3a - \sin a}{\sin a + 4\cos a}\), зная, что \(\tan a = -3\), мы можем начать с нахождения значений \(\sin a\) и \(\cos a\).

Поскольку \(\tan a = -3\), то мы можем использовать это для нахождения значений синуса и косинуса. Используя определение тангенса:

\[ \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} \]

можно записать, что \(\sin a = -3 \cos a\). Обозначим \(\cos a\) как \(x\). Тогда:

\[ \sin a = -3x \]

Согласно тригонометрическому тождеству \(\sin^2 a + \cos^2 a = 1\), подставим выражения:

\[ (-3x)^2 + x^2 = 1 \] \[ 9x^2 + x^2 = 1 \] \[ 10x^2 = 1 \] \[ x^2 = \frac{1}{10} \] \[ x = \frac{1}{\sqrt{10}} \quad \text{или} \quad x = -\frac{1}{\sqrt{10}} \]

Поскольку \(\tan a\) отрицателен, это может значить, что \(\cos a\) положителен, а \(\sin a\) отрицателен. В этом случае:

\[ \cos a = \frac{1}{\sqrt{10}} \quad \text{и} \quad \sin a = -\frac{3}{\sqrt{10}}. \]

Теперь подставим \(\sin a\) и \(\cos a\) в выражение \(\frac{\cos 3a - \sin a}{\sin a + 4\cos a}\).

Для нахождения \(\cos 3a\), воспользуемся формулой:

\[ \cos 3a = 4\cos^3 a - 3\cos a. \]

Сначала найдем \(\cos^3 a\):

\[ \cos^3 a = \left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)^3 = \frac{1}{10\sqrt{10}}. \]

Теперь подставим это значение в формулу:

\[ \cos 3a = 4 \cdot \frac{1}{10\sqrt{10}} - 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{4}{10\sqrt{10}} - \frac{30}{10\sqrt{10}} = \frac{4 - 30}{10\sqrt{10}} = \frac{-26}{10\sqrt{10}} = -\frac{13}{5\sqrt{10}}. \]

Теперь подставим все это в исходное выражение:

\[ \frac{\cos 3a - \sin a}{\sin a + 4\cos a} = \frac{-\frac{13}{5\sqrt{10}} + \frac{3}{\sqrt{10}}}{-\frac{3}{\sqrt{10}} + 4 \cdot \frac{1}{\sqrt{10}}}. \]

Приведем обе части к общему знаменателю:

Для числителя:

\[ -\frac{13}{5\sqrt{10}} + \frac{3}{\sqrt{10}} = -\frac{13}{5\sqrt{10}} + \frac{15}{5\sqrt{10}} = \frac{2}{5\sqrt{10}}. \]

Для знаменателя:

\[ -\frac{3}{\sqrt{10}} + \frac{4}{\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}}. \]

Теперь окончательно подставим:

\[ \frac{\frac{2}{5\sqrt{10}}}{\frac{1}{\sqrt{10}}} = \frac{2}{5}. \]

Таким образом, окончательный ответ равен \(\frac{2}{5}\).