разложить вектор d по векторам a, b, c. если а= (9,2,1), b = (-9, -11), c = (-1,4,-1), d= ( 37, 2,1)
Для разложения вектора \(d\) по векторам \(a\), \(b\) и \(c\), нам нужно найти такие скаляры \(x\), \(y\) и \(z\), чтобы выполнялось равенство:
\[ d = x \cdot a + y \cdot b + z \cdot c \]
Где векторы заданы следующим образом:
- \(a = (9, 2, 1)\)
- \(b = (-9, -11, 0)\)
- \(c = (-1, 4, -1)\)
- \(d = (37, 2, 1)\)
Теперь подставим векторы и создадим систему уравнений:
\[ (37, 2, 1) = x \cdot (9, 2, 1) + y \cdot (-9, -11, 0) + z \cdot (-1, 4, -1) \]
Это приводит к следующей системе уравнений по компонентам:
- \(9x - 9y - z = 37\) (по первой компоненте)
- \(2x - 11y + 4z = 2\) (по второй компоненте)
- \(x + 0y - z = 1\) (по третьей компоненте)
Теперь решим эту систему уравнений.
Из третьего уравнения выразим \(z\):
\[ z = x - 1 \]
Теперь подставим во все уравнения:
\(9x - 9y - (x - 1) = 37\) превращается в: \[ 9x - 9y - x + 1 = 37 \implies 8x - 9y = 36 \quad (1) \]
Второе уравнение: \[ 2x - 11y + 4(x - 1) = 2 \implies 2x - 11y + 4x - 4 = 2 \implies 6x - 11y = 6 \quad (2) \]
Теперь у нас есть два уравнения:
- \(8x - 9y = 36\)
- \(6x - 11y = 6\)
Теперь можно решить эту систему. Умножим первое уравнение на 11 и второе на 9, чтобы сравнять коэффициенты при \(y\):
\[ 88x - 99y = 396 \quad (3) \] \[ 54x - 99y = 54 \quad (4) \]
Теперь вычтем уравнение (4) из уравнения (3):
\[ (88x - 99y) - (54x - 99y) = 396 - 54 \implies 34x = 342 \implies x = 10.0588 \]
Теперь подставим \(x\) обратно в первое уравнение, чтобы найти \(y\):
\[ 8(10.0588) - 9y = 36 \implies 80.4704 - 9y = 36 \implies 9y = 44.4704 \implies y = 4.9523 \]
Теперь найдем \(z\):
\[ z = x - 1 \implies z \approx 9.0588 \]
Таким образом, мы получили, что:
- \(x \approx 10.0588\)
- \(y \approx 4.9523\)
- \(z \approx 9.0588\)
Теперь вектор \(d\) может быть представлен как комбинация векторов \(a\), \(b\) и \(c\) с найденными скалярами \(x\), \(y\) и \(z\).
