Решить уравнение: 1) sin 3x cos x - sin x cos 3x = 1; 2) 2 cos' x + 5 cos x = 3; 3) tg x -3 ctg x= 0; 4) sin 3x - sin x =0; 5) 2 sin x + sin 2x = 0.

Привет! Давай разберём задачи одну за другой.

Задача 1: Найти значение выражения

1. \(\arccos 1 + \arcsin 0\)

• \(\arccos 1 = 0\) (потому что \(\cos 0 = 1\))
• \(\arcsin 0 = 0\) (потому что \(\sin 0 = 0\))

Таким образом, \(\arccos 1 + \arcsin 0 = 0 + 0 = 0\).

2. \(\arccos \left(-\frac{1}{2}\right) - \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}\)

• \(\arccos \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}\) (или \(120^\circ\))
• \(\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}\) (или \(60^\circ\))

Итак, \(\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3}\).

Теперь перейдём ко второй задаче: решим уравнения.

Задача 2: Решить уравнение

1. \(\sin 3x \cos x - \sin x \cos 3x = 1\)

Используем формулу для разности синусов: \[ \sin A \cos B - \sin B \cos A = \sin(A-B) \] Получим: \[ \sin(3x-x) = 1 \Rightarrow \sin 2x = 1 \] Тогда \(2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n\), где \(n \in \mathbb{Z}\). Значит, \(x = \frac{\pi}{4} + \pi n\).

2. \(2 \cos^2 x + 5 \cos x = 3\)

Это квадратное уравнение относительности \(\cos x\). Подставляем \(\cos x = t\): \[ 2t^2 + 5t - 3 = 0 \] Находим дискриминант: \[ D = 5^2 - 4 \times 2 \times (-3) = 49 \] Корни: \[ t_{1,2} = \frac{-5 \pm 7}{4} \Rightarrow t_1 = \frac{1}{2}, \, t_2 = -3 \] Решения:

• Для \(t_1 = \frac{1}{2}\), \(\cos x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n\).
• Значение \(\cos x = -3\) недопустимо, так как косинус не может быть более единицы по модулю.

3. \(\tan x - 3 \cot x = 0\)

Преобразуем: \[ \tan x = 3 \cot x \Rightarrow \frac{\sin x}{\cos x} = 3 \cdot \frac{\cos x}{\sin x} \] Получаем \(\sin^2 x = 3 \cos^2 x\). То есть: \[ \tan^2 x = 3 \Rightarrow \tan x = \pm \sqrt{3} \] Решения: \[ x = \frac{\pi}{3} + \pi n \quad \text{и} \quad x = \frac{2\pi}{3} + \pi n \]

4. \(\sin 3x - \sin x = 0\)

Используем формулу разности синусов: \[ 2 \cos \left(\frac{3x+x}{2}\right) \sin \left(\frac{3x-x}{2}\right) = 0 \] Получаем: \[ \sin x(2x) = 0 \] Значит, \(x = \pi n\) или \(x = \frac{\pi}{2} + \pi n\).

5. \(2 \sin x + \sin 2x = 0\)

Сначала заменим \(\sin 2x\) на \(2 \sin x \cos x\): \[ 2 \sin x + 2 \sin x \cos x = 0 \Rightarrow 2 \sin x (1 + \cos x) = 0 \] Решения:

• \(\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n\)
• \(\cos x = -1 \Rightarrow x = \pi + 2\pi n\)

Надеюсь, это поможет! Если есть вопросы, пиши! 😊