Найдите область значений функции y = x + 16/x
Чтобы найти область значений функции \( y = x + \frac{16}{x} \), начнем с анализа данной функции.
Определение области определения: Сначала отметим, что функция определена для всех \( x \), кроме \( x = 0 \), так как при \( x = 0 \) выражение \(\frac{16}{x}\) становится неопределенным.
Простое преобразование: Перепишем функцию в более удобной форме. Умножим обе стороны на \( x \) (при условии, что \( x \neq 0 \)): \[ y = x + \frac{16}{x} \implies yx = x^2 + 16. \] Это уравнение можно переписать как: \[ x^2 - yx + 16 = 0. \]
Применение дискриминанта: Теперь это квадратное уравнение относительно \( x \). Для того чтобы \( x \) имел реальные значения, дискриминант этого уравнения должен быть неотрицателен: \[ D = (-y)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 \geq 0. \] Упрощая, получаем: \[ y^2 - 64 \geq 0. \]
Решение неравенства: Разложим это на множители: \[ (y - 8)(y + 8) \geq 0. \] Теперь найдем, при каких значениях \( y \) это неравенство выполняется. Решение неравенства означает, что \( y \) может принимать значения вне интервала между корнями: \[ y \leq -8 \quad \text{или} \quad y \geq 8. \]
Область значений функции: Таким образом, область значений функции \( y = x + \frac{16}{x} \) будет равна: \[ (-\infty, -8] \cup [8, +\infty). \]
Таким образом, область значений функции — это все числа, меньше или равные -8, и все числа, большие или равные 8.
