В верхнем ящике стола лежит 10 белых и 15 черных одинаковых по размеру кубиков. В нижнем ящике стола лежит 15 белых и 10 черных таких же кубиков. Аня наугад взяла из верхнего…
В верхнем ящике стола лежит 10 белых и 15 черных одинаковых по размеру кубиков. В нижнем ящике стола лежит 15 белых и 10 черных таких же кубиков. Аня наугад взяла из верхнего ящика два кубика, а Оля — два кубика из нижнего ящика. После этого Аня положила свои кубики в нижний ящик, а Оля — в верхний. Найдите вероятность того, что в верхнем ящике по прежнему будет 10 белых и 15 черных кубиков.
Для решения этой задачи найдем вероятность того, что после обмена кубиками в верхнем ящике останется 10 белых и 15 черных кубиков.
В верхнем ящике изначально 10 белых и 15 черных кубиков, всего 25 кубиков. Оля берёт два кубика из нижнего ящика, в котором 15 белых и 10 черных кубиков.
Мы рассматриваем несколько возможных случаев, при которых в верхнем ящике останется 10 белых и 15 черных кубиков после обмена. Это возможно только в том случае, если:
- Аня возьмет 2 черных кубика из верхнего ящика, и Оля положит в верхний ящик 2 белых кубика из нижнего ящика.
- Аня возьмет 1 белый и 1 черный кубик, а Оля положит в верхний ящик 1 белый и 1 черный кубик.
Случай 1: Аня берет 2 черных кубика.
Вероятность того, что Аня возьмет 2 черных кубика:
\[ P(2\ черных) = \frac{C(15,2)}{C(25,2)} = \frac{\frac{15 \times 14}{2}}{\frac{25 \times 24}{2}} = \frac{15 \times 14}{25 \times 24} = \frac{210}{600} = \frac{7}{20} \]
Теперь рассмотрим, каковы шансы того, что Оля положит 2 белых кубика:
Вероятность того, что Оля возьмет 2 белых кубика:
\[ P(2\ белых) = \frac{C(15,2)}{C(25,2)} = \frac{105}{300} = \frac{7}{20} \]
Следовательно, общая вероятность для этого случая:
\[ P(Случай 1) = P(2\ черных) \cdot P(2\ белых) = \frac{7}{20} \cdot \frac{7}{20} = \frac{49}{400} \]
Случай 2: Аня берет 1 белый и 1 черный кубик.
Вероятность того, что Аня возьмет 1 белый и 1 черный кубик:
\[ P(1\ белый, 1\ черный) = \frac{C(10,1) \cdot C(15,1)}{C(25,2)} = \frac{10 \cdot 15}{300} = \frac{150}{300} = \frac{1}{2} \]
Теперь вероятность того, что Оля возьмет 1 белый и 1 черный:
Вероятность того, что Оля возьмет 1 белый и 1 черный кубик из нижнего ящика:
\[ P(1\ белый, 1\ черный) = \frac{C(15,1) \cdot C(10,1)}{C(25,2)} = \frac{15 \cdot 10}{300} = \frac{150}{300} = \frac{1}{2} \]
Следовательно, общая вероятность для этого случая:
\[ P(Случай 2) = P(1\ белый, 1\ черный) \cdot P(1\ белый, 1\ черный) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \]
Теперь складываем вероятности обоих случаев, чтобы найти общую вероятность того, что в верхнем ящике останется 10 белых и 15 черных кубиков:
\[ P(в верхнем ящике останется 10 белых и 15 черных) = P(Случай 1) + P(Случай 2) = \frac{49}{400} + \frac{1}{4} = \frac{49}{400} + \frac{100}{400} = \frac{149}{400} \]
Таким образом, вероятность того, что в верхнем ящике по-прежнему будет 10 белых и 15 черных кубиков, равна \(\frac{149}{400}\).
