Не используя калькулятора, определите знак числа (cos(cos 1) - cos 1) (sin(sin 1) - sin 1)

Чтобы определить знак выражения \((\cos(\cos 1) - \cos 1)(\sin(\sin 1) - \sin 1)\), начнем с анализа каждого множителя по отдельности.

1. Анализ \(\cos(\cos 1) - \cos 1\):

   • Зная, что \(\cos 1\) (где 1 в радианах) примерно равен \(0.5403\), мы видим, что \(\cos 1\) – это положительное значение, и оно меньше 1.
   • Теперь рассматриваем \(\cos(\cos 1)\). Мы знаем, что \(\cos x\) убывает на интервале \([0, \pi/2]\). Поскольку \(\cos 1\) находится в этом интервале, то \(\cos(\cos 1)\) будет больше \(\cos 1\), т.е. \( \cos(\cos 1) > \cos 1\).
   • Следовательно, \(\cos(\cos 1) - \cos 1 > 0\).

2. Анализ \(\sin(\sin 1) - \sin 1\):

   • Аналогично, \(\sin 1\) (где 1 в радианах) примерно равен \(0.8415\), что также положительно, и находится в интервале \((0, 1)\).
   • Поскольку \(\sin x\) возрастает на интервале \([0, \pi/2]\), значение \(\sin(\sin 1)\) будет меньше \(\sin 1\) (так как значение аргумента \(\sin 1\) меньше, чем его предельное значение 1). Следовательно, \( \sin(\sin 1) < \sin 1\).
   • Поэтому \(\sin(\sin 1) - \sin 1 < 0\).

Теперь мы можем собрать эти результаты вместе:

\[ (\cos(\cos 1) - \cos 1) > 0 \quad \text{и} \quad (\sin(\sin 1) - \sin 1) < 0 \]

Произведение положительного числа и отрицательного числа всегда отрицательно. Таким образом, знак всего выражения \((\cos(\cos 1) - \cos 1)(\sin(\sin 1) - \sin 1)\) будет отрицательным.

Ответ: Отрицательное.