(x²+x)²-3x²-3x-4=0 найди сумму всех различных корней уравнения
Чтобы найти сумму всех различных корней уравнения \((x²+x)²-3x²-3x-4=0\), сначала упростим его.
Раскроем скобки: \[ (x^2 + x)^2 = x^4 + 2x^3 + x^2 \] Таким образом, уравнение преобразуется в: \[ x^4 + 2x^3 + x^2 - 3x^2 - 3x - 4 = 0 \] Упрощая, получаем: \[ x^4 + 2x^3 - 2x^2 - 3x - 4 = 0 \]
Найдём корни уравнения. Для этого можно воспользоваться методом проб и подставить некоторые значения, чтобы найти рациональные корни.
Проверим \(x = -2\): \[ (-2)^4 + 2(-2)^3 - 2(-2)^2 - 3(-2) - 4 = 16 - 16 - 8 + 6 - 4 = -6 \quad(\text{не корень}) \] Проверим \(x = -1\): \[ (-1)^4 + 2(-1)^3 - 2(-1)^2 - 3(-1) - 4 = 1 - 2 - 2 + 3 - 4 = -4 \quad(\text{не корень}) \] Проверим \(x = 1\): \[ (1)^4 + 2(1)^3 - 2(1)^2 - 3(1) - 4 = 1 + 2 - 2 - 3 - 4 = -6 \quad(\text{не корень}) \] Проверим \(x = 2\): \[ (2)^4 + 2(2)^3 - 2(2)^2 - 3(2) - 4 = 16 + 16 - 8 - 6 - 4 = 14 \quad(\text{не корень}) \]
После проверки нескольких значений можно воспользоваться методом деления многочленов или подбора, либо использовать численные методы (например, графический метод).
- Допустим, мы нашли корни \(x_1, x_2, x_3\) и \(x_4\). Сумма всех корней уравнения степень которого равна 4 (в данном случае 4) по теореме Виета равна \( - \frac{b}{a} \), где \(b\) — коэффициент при \(x^3\), а \(a\) — коэффициент перед \(x^4\).
Здесь:
- \(a = 1\) (коэффициент при \(x^4\)),
- \(b = 2\) (коэффициент при \(x^3\)).
Таким образом, сумма корней равна: \[ -\frac{2}{1} = -2 \]
Итак, сумма всех различных корней уравнения \((x²+x)²-3x²-3x-4=0\) равна \(-2\).
