две стороны треугольника равны 5 см и 4 см, угол между ними 60 . найти третью сторону треугольника и его площадь
Для решения задачи о треугольнике, где две стороны равны 5 см и 4 см, а угол между ними равен 60°, мы можем воспользоваться теоремой косинусов для нахождения третьей стороны, а затем формулой для нахождения площади.
- Нахождение третьей стороны (c):
Согласно теореме косинусов:
\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) \]
где:
- \( a = 5 \) см (первая сторона),
- \( b = 4 \) см (вторая сторона),
- \( C = 60^\circ \) (угол между ними).
Подставим значения в формулу:
\[ c^2 = 5^2 + 4^2 - 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \cos(60^\circ) \]
Помним, что \( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \).
Теперь подставим это значение:
\[ c^2 = 25 + 16 - 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} \] \[ c^2 = 25 + 16 - 20 \] \[ c^2 = 21 \] \[ c = \sqrt{21} \]
Таким образом, третья сторона треугольника равна \( \sqrt{21} \) см.
- Нахождение площади треугольника:
Для нахождения площади треугольника можно использовать формулу:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(C) \]
Подставим значения:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4 \cdot \sin(60^\circ) \]
Здесь \( \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
Теперь подставим:
\[ S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ S = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ S = \frac{20\sqrt{3}}{4} \] \[ S = 5\sqrt{3} \]
Таким образом, площадь треугольника равна \( 5\sqrt{3} \) см².
Резюме:
- Третья сторона треугольника: \( \sqrt{21} \) см.
- Площадь треугольника: \( 5\sqrt{3} \) см².
