Реши 21

Давай разберёмся с задачей №21.

В задаче нужно построить график функции:

\[ y = \dfrac{x^3 - 3x}{x^2 - 2x} \]

Чтобы построить график, давай посмотрим на его особенности:

1. Проанализируем числитель и знаменатель:

   • Числитель: \(x^3 - 3x\) можно разложить как \(x(x^2 - 3)\).
   • Знаменатель: \(x^2 - 2x\) можно разложить как \(x(x - 2)\).

2. Найдём нули функции:

   • \(x^3 - 3x = 0\) дает \(x = 0\) и \(x^2 = 3\) (\(x = \sqrt{3}\) и \(x = -\sqrt{3}\)).
   • \(x^2 - 2x = 0\) дает \(x = 0\) и \(x = 2\), но это нули знаменателя, так что здесь мы имеем вертикальные асимптоты.

3. Определим области определения:

   • Функция не определена при \(x = 0\) и \(x = 2\).

4. Вертикальные и горизонтальные асимптоты:

   • Вертикальные асимптоты в \(x = 0\) и \(x = 2\).

5. Поведение функции на бесконечности:

   • Для больших значений \(x\), функция ведет себя как \(\dfrac{x^3}{x^2} = x\), следовательно, нет горизонтальных асимптот, но стоит ожидать, что на больших значениях функция уходит вверх/вниз бесконечно.

Теперь можно нарисовать график с учётом найденных особенностей. Убедись, что график проходит через нули функции и учитывает асимптоты. Удачи с графиком!