5. Найдите радиус окружности, если концы диаметра удалены от некоторой касательной на 24см и 36см.
Для решения задачи можно воспользоваться свойствами окружности и касательной.
Пусть \( O \) – центр окружности, \( A \) и \( B \) – концы диаметра, а \( T \) – точка касания касательной с окружностью. По свойствам касательной к окружности длина отрезка, соединяющего центр окружности с точкой касания, перпендикулярна касательной.
Также известно, что расстояние от точки касания до концов диаметра \( A \) и \( B \) равно 24 см и 36 см соответственно. Обозначим радиус окружности как \( R \).
Таким образом, для отрезков \( AT \) и \( BT \) мы можем записать:
- \( AT = R - 24 \) (расстояние от \( A \) до касательной),
- \( BT = R - 36 \) (расстояние от \( B \) до касательной).
По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике \( OAT \) и \( OBT \):
\[ OA^2 = AT^2 + OT^2 \] \[ R^2 = (R - 24)^2 + R^2 \] Справедливость (AT = 24): \[ R^2 = (R - 24)^2 + OT^2 \] \[ R^2 = (R - 36)^2 + OT^2 \]
Теперь, поскольку \( OT^2 = R^2 - (R - 24)^2 \) и \( OT^2 = R^2 - (R - 36)^2 \), мы можем написать:
\[ (R - 24)^2 + H^2 = R^2 \] \[ (R - 36)^2 + H^2 = R^2 \]
Выразим \( H^2 \):
Первое уравнение: \[ H^2 = R^2 - (R - 24)^2 \] \[ = R^2 - (R^2 - 48R + 576) = 48R - 576 \]
Второе уравнение: \[ H^2 = R^2 - (R - 36)^2 \] \[ = R^2 - (R^2 - 72R + 1296) = 72R - 1296 \]
Приравняем два уравнения для \( H^2 \): \[ 48R - 576 = 72R - 1296 \] \[ -576 + 1296 = 72R - 48R \] \[ 720 = 24R \] \[ R = 30 \]
Таким образом, радиус окружности равен 30 см.
