5. Найдите радиус окружности, если концы диаметра удалены от некоторой касательной на 34см и 56см.

Рассмотрим данную задачу. Пусть \( AB \) — диаметр окружности, и \( C \) — точка касания касательной с окружностью. Обозначим радиус окружности как \( R \).

Согласно условию, расстояния от концов диаметра до касательной равны 34 см и 56 см. Обозначим расстояние от точки \( A \) (одного из концов диаметра) до касательной как \( d_1 = 34 \) см, а расстояние от точки \( B \) (другого конца диаметра) до касательной как \( d_2 = 56 \) см.

Вычислим расстояние от центра окружности \( O \) до касательной. Поскольку \( OA = OB = R \) (радиус окружности равен), можем применить теорему, что расстояние от центра окружности до касательной равно радиусу \( R \).

Мы можем выразить радиус через расстояния от концов диаметра до касательной (отличного от центра) с использованием формулы:

\[ R = \frac{d_1 + d_2}{2}. \]

Подставим значения \( d_1 \) и \( d_2 \):

\[ R = \frac{34 + 56}{2} = \frac{90}{2} = 45 \text{ см}. \]

Таким образом, радиус окружности равен 45 см.