дана правильная несократимая дробь.Если числитель возвести в квадрат ,а к знаменателю прибавить 5,то получится дробь,которая в 3 раза больше исходной ,чему равна исходная дробь
Рассмотрим задачу более подробно. Пусть правильная несократимая дробь имеет вид \( \frac{a}{b} \), где \( a < b \) и \( a \) и \( b \) — натуральные числа, не имеющие общих делителей кроме 1.
Согласно условию задачи, если мы возведем числитель в квадрат и прибавим 5 к знаменателю, то получится новая дробь, которая в 3 раза больше исходной дроби:
\[ \frac{a^2}{b + 5} = 3 \cdot \frac{a}{b} \]
Теперь упростим это уравнение. Умножим обе стороны на \( b(b + 5) \) для устранения знаменателей:
\[ a^2 \cdot b = 3a(b + 5) \]
Раскроем скобки:
\[ a^2 b = 3ab + 15a \]
Переносим все члены в левую часть уравнения:
\[ a^2 b - 3ab - 15a = 0 \]
Теперь можно вынести общий множитель \( a \):
\[ a(ab - 3b - 15) = 0 \]
Поскольку \( a \neq 0 \) (числитель дроби не может быть равен нулю), мы можем упростить уравнение до:
\[ ab - 3b - 15 = 0 \]
Теперь выразим \( b \):
\[ ab - 3b = 15 \] \[ b(a - 3) = 15 \] \[ b = \frac{15}{a - 3} \]
При этом \( a - 3 \) должно делить 15. Рассмотрим делители числа 15: 1, 3, 5, 15 и их отрицательные значения, которые нас не интересуют, поскольку \( a \) и \( b \) должны быть положительными.
Возможные значения для \( a - 3 \) и соответствующие значения для \( a \) будут:
- \( a - 3 = 1 \) \(\Rightarrow a = 4\) (тогда \( b = 15\))
- \( a - 3 = 3 \) \(\Rightarrow a = 6\) (тогда \( b = 5\)) - это некорректно, поскольку \( a \) должно быть меньше \( b \).
- \( a - 3 = 5 \) \(\Rightarrow a = 8\) (тогда \( b = 3\)) - тоже некорректно.
- \( a - 3 = 15 \) \(\Rightarrow a = 18\) (фракция будет неправильной).
Таким образом, проверяем лишь первый случай. Мы получаем дробь:
\[ \frac{4}{15} \]
Теперь проверим, удовлетворяет ли она условию задачи:
Возводим числитель в квадрат и добавляем 5 к знаменателю:
\[ \frac{4^2}{15 + 5} = \frac{16}{20} = \frac{4}{5} \]
И проверяем, действительно ли она в 3 раза больше исходной:
\[ 3 \cdot \frac{4}{15} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5} \]
Условия задачи выполняются.
Таким образом, исходная дробь равна:
\[ \frac{4}{15} \]
