Дана правильная несократимая дробь. Если числитель возвести в квадрат, а к знаменателю прибавить 5, то получится дробь, которая в 3 раза больше исходной. Чему равна исходная дробь?
Давайте разберем эту задачу шаг за шагом. Пусть исходная дробь имеет вид \( \frac{a}{b} \), где \( a \) — числитель, а \( b \) — знаменатель. Условие задачи говорит, что если возвести числитель в квадрат и прибавить 5 к знаменателю, то новая дробь будет в 3 раза больше исходной:
\[ \frac{a^2}{b + 5} = 3 \cdot \frac{a}{b} \]
Теперь мы можем упростить это уравнение. Умножим обе стороны на \( b(b + 5) \) (предполагая, что \( b \neq 0 \)):
\[ a^2 \cdot b = 3a(b + 5) \]
Раскроем скобки на правой стороне:
\[ a^2 b = 3ab + 15a \]
Теперь перенесем все члены в одну сторону уравнения:
\[ a^2 b - 3ab - 15a = 0 \]
Для удобства можно выделить общий множитель \( a \):
\[ a(ab - 3b - 15) = 0 \]
Так как дробь несократимая, \( a \neq 0 \). Следовательно, нам необходимо решить уравнение:
\[ ab - 3b - 15 = 0 \]
Теперь выразим \( b \):
\[ ab - 3b = 15 \] \[ b(a - 3) = 15 \] \[ b = \frac{15}{a - 3} \]
Теперь нам нужно, чтобы дробь \( \frac{a}{b} \) была несократимой. Это значит, что \( a \) и \( b \) не должны иметь общих делителей. Так как \( b = \frac{15}{a - 3} \), мы можем подставить это значение в второе условие: \( 15 \) и \( a - 3 \) не должны иметь общих делителей с \( a \).
Ограничим \( a \) значениями, которые являются делителями числа 15. Дельности 15: 1, 3, 5, 15. Подставляя эти значения в уравнение \( b = \frac{15}{a - 3} \):
Если \( a = 4 \): \[ b = \frac{15}{4 - 3} = 15 \Rightarrow \frac{4}{15} \]
Если \( a = 6 \): \[ b = \frac{15}{6 - 3} = 5 \Rightarrow \frac{6}{5} \] (дробь не несократима)
Если \( a = 18 \): \[ b = \frac{15}{18 - 3} = 1 \Rightarrow \] дробь отсечется.
Таким образом, находим, что один из вариантов: Исходная дробь равна \( \frac{4}{15} \) или \( \frac{6}{5} \) в зависимости от выборов.
Однако важно отметить, что требуется проверить условия несократимости для каждой дроби. С двумя образцами \( \frac{4}{15} \) и \( \frac{6}{5} \), только \( \frac{4}{15} \) подстраивается к условиям невозможного деления.
Таким образом, окончательный ответ: Исходная дробь равна \( \frac{4}{15} \).
