ПР: «Комбинаторика» Вариант 1 1. Сколькими способами 8 человек могут встать в очередь в столовой? 2. Сколько различных пятизначных чисел, не содержащих одинаковых цифр, можно…

Конечно! Давайте рассмотрим каждую задачу по порядку.

1. Сколькими способами 8 человек могут встать в очередь в столовой?

   Чтобы определить, сколькими способами 8 человек могут встать в очередь, нужно использовать факториал. Количество способов выстраивания n людей в очередь равно n! (факториал n).

   Для 8 человек это будет: \( 8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 40320 \).

   Ответ: 40320 способов.

2. Сколько различных пятизначных чисел, не содержащих одинаковых цифр, можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, если первой была цифра 5 и последней была цифра 2?

   У нас есть 5 цифров из которых 1-5. Мы фиксируем первую цифру как 5 и последнюю как 2. Остаются цифры 1, 3 и 4 для 3 средних позиций.

   Мы можем расположить три оставшиеся цифры в 3! способах: \( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \).

   Ответ: 6 способов.

   При условии, что последней цифрой могла быть и 2, это не меняет результат, так как первая цифра по-прежнему 5. Поэтому, ответ будет тем же.

3. В классе 18 учащихся надо выбрать старосту, физорга, культорга. Сколькими способами это можно сделать?

   Чтобы выбрать старосту, физорга и культорга, мы можем выбрать старосту любым из 18 учеников, затем физорга из оставшихся 17, и культорга из оставшихся 16.

   Итак, количество способов: \( 18 \times 17 \times 16 \).

   Ответ: 4896 способов.

4. В классе 8 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на пятницу, если в этот день 5 уроков из пяти различных предметов?

   Мы выбираем 5 предметов из 8, и это можно сделать \( C(8, 5) \) способами. Затем, для этих 5 предметов, можно составить расписание (перестановка) в \( 5! \) способах.

   Сначала находим количество способов выбрать 5 предметов: \( C(8, 5) = \frac{8!}{5!(8-5)!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56 \).

   Теперь умножаем на количество перестановок: \( 56 \times 5! = 56 \times 120 = 6720 \).

   Ответ: 6720 способов.

5. В классе 7 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?

   Чтобы выбрать 2 человек из 7, используем комбинации \( C(7, 2) \): \( C(7, 2) = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21 \).

   Ответ: 21 способ.

6. В классе учатся 16 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории нужно выделить 4 мальчика и 3 девочки. Сколькими способами это можно сделать?

   Для выбора 4 мальчиков из 16 у нас есть: \( C(16, 4) = \frac{16!}{4!(16-4)!} = 1820 \).

   Для выбора 3 девочек из 12: \( C(12, 3) = \frac{12!}{3!(12-3)!} = 220 \).

   Общее количество способов: \( C(16, 4) \times C(12, 3) = 1820 \times 220 = 400400 \).

   Ответ: 400400 способов.

7. Имеются 9 различных книг, четыре из которых учебники. Сколькими способами можно расставить книги на полке так, чтобы все учебники стояли рядом?

   Рассмотрим 4 учебника как одну группу. Тогда у нас будет 6 "книг": 5 (неучебников) + 1 группа учебников.

   Расставляем 6 "книг": \( 6! = 720 \).

   Так как учебники можно расставить внутри их группы: \( 4! = 24 \).

   Общее количество способов: \( 720 \times 24 = 17280 \).

   Ответ: 17280 способов.

8. Сколько вариантов трехзначного цифрового кода существует?

   Трехзначный код может состоять из цифр от 0 до 9. Если используем одинаковые цифры, набор доступен из 10 цифр (0-9).

   Первая цифра не может быть 0 (иначе это не трехзначное число), поэтому: Первая цифра: 9 выборов (1-9). Вторая и третья цифры: по 10 выборов каждая (включая 0).

   Общее количество: \( 9 \times 10 \times 10 = 900 \).

   Ответ: 900 вариантов.

Если возникли дополнительные вопросы или необходимо пояснить некоторые аспекты, буду рад помочь!