ПР: «Комбинаторика» Вариант 1 1. Сколькими способами 8 человек могут встать в очередь в столовой? 2. Сколько различных пятизначных чисел, не содержащих одинаковых цифр, можно…

Конечно! Давайте разберем каждый из ваших вопросов по комбинаторике.

1. Сколькими способами 8 человек могут встать в очередь в столовой?
   Для определения количества способов, которыми 8 человек могут встать в очередь, используем факториал. Количество способов равно \(8!\) (факториал восьми).
   \[ 8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 40320 \]
   Таким образом, 8 человек могут встать в очередь 40320 способами.

2. Сколько различных пятизначных чисел, не содержащих одинаковых цифр, можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5 так чтобы:

   1. первой была цифра 5, последней была цифра 2;
      Если первая цифра 5, а последняя 2, то нам нужно выбрать 3 оставшиеся цифры из 1, 3, 4. Количество способов расположить эти 3 цифры: \(3!\) (факториал трех).
      \[ 3! = 6 \]
      Таким образом, всего 6 способов.

   2. первой и второй цифрой были бы цифры: либо 1, либо 2?
      Здесь есть два случая:

   • Если первой цифрой 1, а второй 2, остаются для выбора 3 цифры: 3, 4, 5. Количество способов их разместить: \(3!\).
   • Если первой цифрой 2, а второй 1, а затем опять остаются 3 цифры: 3, 4, 5, также \(3!\).
     Итого: \(2 \times 3! = 2 \times 6 = 12\) способов.

3. В классе 18 учащихся. Из их числа надо выбрать старосту, физорга, культорга. Сколькими способами это можно сделать?
   Для выбора старосты, физорга и культорга, у нас есть 18 возможностей для выбора старосты, затем 17 для физорга (поскольку он не может быть старостой), и 16 для культорга.
   Количество способов:
   \[ 18 \times 17 \times 16 = 4896 \]

4. В класс изучают 8 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на пятницу, если в этот день 5 уроков из пяти различных предметов?
   Выбираем 5 предметов из 8. Количество способов выбрать 5 из 8: \(C(8, 5)\). Затем необходимо расставить выбранные 5 предметов.
   \[ C(8, 5) = \frac{8!}{5! \cdot (8-5)!} = \frac{8!}{5! \cdot 3!} = 56 \]
   Теперь у нас есть 5! способов расставить их:
   \[ 5! = 120 \]
   Таким образом, общее количество способов:
   \[ 56 \times 120 = 6720 \]

5. В классе 7 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?
   Количество способов выбрать 2 из 7:
   \[ C(7, 2) = \frac{7!}{2! \cdot (7-2)!} = \frac{7!}{2! \cdot 5!} = 21 \]

6. В классе учатся 16 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории нужно выделить 4 мальчика и 3 девочки. Сколькими способами это можно сделать?
   Количество способов выбрать 4 мальчика из 16:
   \[ C(16, 4) = \frac{16!}{4! \cdot (16-4)!} = 1820 \]
   И количество способов выбрать 3 девочки из 12:
   \[ C(12, 3) = \frac{12!}{3! \cdot (12-3)!} = 220 \]
   Общее количество способов:
   \[ 1820 \times 220 = 400400 \]

7. Имеются 9 различных книг, четыре из которых учебники. Сколькими способами можно расставить книги на полке так, чтобы все учебники стояли рядом?
   Сначала рассматриваем 4 учебника как одну единицу. Это дает нам 6 единиц (4 учебника + 5 остальных книг).
   Количество способов расставить 6 единиц: \(6!\).
   Количество способов расставить учебники среди себя: \(4!\).
   Общее количество способов:
   \[ 6! \times 4! = 720 \times 24 = 17280 \]

8. Сколько вариантов трехзначного цифрового кода существует?
   Каждая цифра может принимать значения от 0 до 9. Так как цифры могут повторяться, общее количество вариантов:
   \[ 10 \times 10 \times 10 = 1000 \]

Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужна помощь с другими темами, не стесняйтесь спрашивать!