докажите что N=n4-20n2-21-20 является составным натуральным числом для любых натуральных n>5

Чтобы доказать, что \( N = n^4 - 20n^2 - 21 \) является составным натуральным числом для любых натуральных \( n > 5 \), рассмотрим выражение подробнее.

Во-первых, перепишем данное выражение так:

\[ N = n^4 - 20n^2 - 21 \]

Мы можем попробовать факторизовать это выражение. Для этого замена \( x = n^2 \) поможет упростить его:

\[ N = x^2 - 20x - 21 \]

Теперь мы можем попробовать использовать метод факторизации:

Решим квадратное уравнение:

\[ x^2 - 20x - 21 = 0 \]

Выражение можно факторизовать через корни этого уравнения, которые находим по формуле:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Подставим \( a = 1, b = -20, c = -21 \):

\[ x = \frac{20 \pm \sqrt{(-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21)}}{2 \cdot 1} = \frac{20 \pm \sqrt{400 + 84}}{2} = \frac{20 \pm \sqrt{484}}{2} \]

\[ \sqrt{484} = 22 \]

Таким образом, корни:

\[ x_1 = \frac{20 + 22}{2} = 21, \quad x_2 = \frac{20 - 22}{2} = -1 \]

Это означает, что:

\[ N = (n^2 - 21)(n^2 + 1) \]

Теперь заметим, что для натуральных \( n > 5 \), \( n^2 \) всегда больше 25. Следовательно, \( n^2 - 21 \) будет больше 4, и \( n^2 + 1 \) всегда будет больше 6.

Так как произведение двух чисел, каждое из которых больше 1, является составным числом, можем заключить, что:

\[ N = (n^2 - 21)(n^2 + 1) \quad \text{является составным числом для} \quad n > 5. \]

Таким образом, мы доказали, что для всех натуральных \( n > 5 \) выражение \( N \) действительно является составным натуральным числом.