Четырёхзначное число оканчивается цифрой 4. Если эту цифру переставить в начало числа, то число уменьшится на 1107. Найдите это четырёхзначное число.

Обозначим четырёхзначное число как \( N \), имеющее вид \( N = 1000a + 100b + 10c + 4 \), где \( a, b, c \) — это цифры числа, при этом \( a \neq 0 \) (так как это четырёхзначное число) и \( a, b, c \) могут принимать значения от 0 до 9.

Если переставить цифру 4 в начало числа, то новое число примет вид \( M = 4000 + 100a + 10b + c \).

По условию задачи, после перестановки число уменьшится на 1107. Это записывается уравнением:

\[ N - M = 1107 \]

Подставим выражения для \( N \) и \( M \):

\[ (1000a + 100b + 10c + 4) - (4000 + 100a + 10b + c) = 1107 \]

Упростим это уравнение:

\[ 1000a + 100b + 10c + 4 - 4000 - 100a - 10b - c = 1107 \]

Соберём все подобные члены:

\[ (1000a - 100a) + (100b - 10b) + (10c - c) + 4 - 4000 = 1107 \]

Это станет:

\[ 900a + 90b + 9c - 3996 = 1107 \]

Теперь добавим 3996 к обеим сторонам:

\[ 900a + 90b + 9c = 5103 \]

Поделим всё уравнение на 9, чтобы упростить его:

\[ 100a + 10b + c = 567 \]

Теперь мы знаем, что:

\[ N = 1000a + 100b + 10c + 4 = 1000a + 100(5 - a) + 10(7 - 10 + a) + 4 \]

Подставим значение \( c = 567 - 100a - 10b \) обратно в выражение \( N \):

Попробуем различные значения для \( a \), чтобы получить значение, соответствующее четырёхзначному числу.

Решение:

Если \( a = 5 \):

• \( 100a = 500 \)
• \( b = 6 - a = 5 - 5 = 0 \)
• \( c = 7 - 10 + a = 7 - 0 + 5 = 7 \)

Тогда число будет:

\[ N = 1000 \cdot 5 + 100 \cdot 6 + 10 \cdot 7 + 4 = 5000 + 600 + 70 + 4 = 5674 \]

Убедимся:

• Переместив 4 в начало, получаем \( 4567 \).
• Проверим разницу:

\[ 5674 - 4567 = 1107 \]

Доказано, что:

Четырёхзначное число — это 5674.