(1²+1*2+2²).... + (99²+99*100+100²)=?

Для решения выражения \( (1^2 + 1 \cdot 2 + 2^2) + (2^2 + 2 \cdot 3 + 3^2) + \ldots + (99^2 + 99 \cdot 100 + 100^2) \), можно упростить каждую из пар в скобках.

Общая форма для каждого элемента выражения:
\( n^2 + n \cdot (n+1) + (n+1)^2 \).

Раскроем скобки:

\[ n^2 + n(n+1) + (n+1)^2 = n^2 + n^2 + n + (n^2 + 2n + 1) = 3n^2 + 3n + 1. \]

Теперь, это выражение можно записать как:

\[ 3n^2 + 3n + 1. \]

Теперь нам нужно просуммировать это выражение для \( n \) от 1 до 99.

Сначала посчитаем сумму:

1. Сумма \( 3n^2 \) от 1 до 99: \[ 3 \sum_{n=1}^{99} n^2 = 3 \left( \frac{99(99+1)(2 \times 99 + 1)}{6} \right) = 3 \left( \frac{99 \cdot 100 \cdot 199}{6} \right) = 3 \cdot 328350 = 985050. \]

2. Сумма \( 3n \) от 1 до 99: \[ 3 \sum_{n=1}^{99} n = 3 \cdot \frac{99(99 + 1)}{2} = 3 \cdot \frac{99 \cdot 100}{2} = 3 \cdot 4950 = 14850. \]

3. Сумма единиц: Так как мы добавляем \( 1 \) для каждого \( n \) от 1 до 99, это просто \( 99 \) единиц.

Теперь сложим все части вместе: \[ 985050 + 14850 + 99 = 1000000 + 99 = 1000099. \]

Таким образом, итоговое значение выражения равно \( 1000099 \).