на прямоугольный стол с размерами a*b (a<b) не глядя бросают мягкую круглую подставку под горячее радиусом R. Какова вероятность, что подставка полностью будет лежать на столе.
Для решения данной задачи необходимо рассмотреть площадь, на которую можно бросить подставку радиусом \( R \) таким образом, чтобы она полностью находилась на столе с размерами \( a \times b \).
Определение допустимой области для центра подставки: Центр подставки должен находиться в пределах стола так, чтобы все точки подставки (которые образуют круг) оставались на столе. Это означает, что центр не может находиться ближе чем на расстоянии \( R \) от всех краёв стола.
Границы допустимого положения центра:
- По горизонтали: центр подставки должен находиться между \( R \) и \( a - R \).
- По вертикали: центр подставки должен находиться между \( R \) и \( b - R \).
Таким образом, допустимая область для центра подставки будет представлять собой прямоугольник размером \( (a - 2R) \times (b - 2R) \).
Площадь стола и возможного размещения:
- Площадь всего стола \( S_{\text{стол}} = a \cdot b \).
- Площадь допустимой области \( S_{\text{доп}} = (a - 2R)(b - 2R) \).
Условие для существования области:
- Для \( (a - 2R) \) и \( (b - 2R) \) должны быть положительными, то есть необходимо, чтобы \( a > 2R \) и \( b > 2R \).
Вероятность: Вероятность того, что подставка полностью лежит на столе, будет равна отношению площади допустимой области к площади стола: \[ P = \frac{S_{\text{доп}}}{S_{\text{стол}}} = \frac{(a - 2R)(b - 2R)}{a \cdot b} \]
Таким образом, вероятность того, что подставка полностью лежит на столе, равна: \[ P = \frac{(a - 2R)(b - 2R)}{a \cdot b} \] при условии, что \( a > 2R \) и \( b > 2R \).
