2^2х+^х+2-12=0
Чтобы решить уравнение \( 2^{2x} + 2^x + 2 - 12 = 0 \), начнем с замены. Обозначим \( y = 2^x \). Тогда \( 2^{2x} \) можно заменить на \( y^2 \). Уравнение преобразуется в:
\[ y^2 + y + 2 - 12 = 0 \]
Теперь упростим это до:
\[ y^2 + y - 10 = 0 \]
Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта. Дискриминант \( D \) находят по формуле:
\[ D = b^2 - 4ac \]
В нашем уравнении \( a = 1 \), \( b = 1 \), \( c = -10 \). Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:
\[ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 1 + 40 = 41 \]
Так как дискриминант положителен, у нас есть два решения для \( y \):
\[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{41}}{2} \]
\[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{41}}{2} \]
Теперь найдем значения \( y_1 \) и \( y_2 \):
- \( y_1 = \frac{-1 + \sqrt{41}}{2} \) – это положительное значение.
- \( y_2 = \frac{-1 - \sqrt{41}}{2} \) – это отрицательное значение, и его нельзя использовать, так как \( y = 2^x \) всегда положительно.
Теперь решим для \( x \), исходя из \( y_1 \):
\[ 2^x = \frac{-1 + \sqrt{41}}{2} \]
Возьмем логарифм по основанию 2 от обеих сторон:
\[ x = \log_2\left(\frac{-1 + \sqrt{41}}{2}\right) \]
Таким образом, мы нашли решение уравнения. Если будут вопросы по работе с квадратными уравнениями или логарифмами, не стесняйтесь задавать!
