В прямоугольном треугольнике угол между биссектрисой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 22°. Найдите большую из двухострых углов этого треугольника.
В прямоугольном треугольнике \(ABC\) с прямым углом в \(C\) будем обозначать углы \(A\) и \(B\) как острые углы. По условию задачи известно, что угол между биссектрисой \(CI\) (где \(I\) – точка пересечения биссектрисы) и медианой \(CM\) (где \(M\) – середина гипотенузы \(AB\)) равен \(22^\circ\).
Углы \(A\) и \(B\) связаны следующим образом: \[ A + B = 90^\circ. \]
Известно, что биссектрисы и медианы в прямоугольном треугольнике обладают некоторыми свойствами, однако для решения данной задачи мы можем использовать подход с синусами и углами.
Угол между медяной \(CM\) и биссектрисой \(CI\) можно выразить через углы \(A\) и \(B\). Угол \(MAN\) (где \(N\) – проекция точки \(I\) на сторону \(AB\)) равен:
\[ \angle CAM = \frac{A}{2}. \]
И подобным образом, угол \(BAN\) равен:
\[ \angle CAB = \frac{B}{2}. \]
Следовательно, угол между медианой и биссектрисой можно будет выразить как:
\[ \angle ACI = \angle CAM - \angle BAN = \frac{A - B}{2}. \]
Мы знаем, что этот угол равен 22°:
\[ \frac{A - B}{2} = 22^\circ. \]
Отсюда:
\[ A - B = 44^\circ. \]
Теперь у системы уравнений:
- \( A + B = 90^\circ \)
- \( A - B = 44^\circ \)
Решим эту систему. Складывая уравнения, мы получаем:
\[ 2A = 134^\circ \implies A = 67^\circ. \]
Теперь подставим \(A\) в первое уравнение, чтобы найти \(B\):
\[ 67^\circ + B = 90^\circ \implies B = 23^\circ. \]
Таким образом, мы нашли два острых угла \(A\) и \(B\). Большой из них:
\[ \boxed{67^\circ}. \]
