два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и тогоже места круговой трассы в беге на не сколько кругов Спуста один час, когда одному из них остался 1км до…

Для решения этой задачи давайте обозначим скорость первого бегуна как \( v_1 \) (в км/ч), а скорость второго бегуна как \( v_2 \) (в км/ч). Согласно условию, известно, что:

\[ v_1 = v_2 - 2 \]

Когда первому бегуну осталось пробежать 1 км до завершения первого круга, второму бегуну уже удалось завершить первый круг и он пробежал это расстояние на 3 минуты раньше. Поскольку трасса круговая, можно считать, что длина круга равна 1 км.

Время, которое потребовалось второму бегуну для завершения круга, можно определить из его скорости. Если он пробежал 1 км, то время, затраченное на это, равно:

\[ t_2 = \frac{1}{v_2} \text{ часов} \]

Так как второй бегун закончил свой круг на 3 минуты (или \(\frac{3}{60} = \frac{1}{20}\) часов) раньше первого бегуна, время, затраченное первым бегуном, составляет:

\[ t_1 = t_2 + \frac{1}{20} = \frac{1}{v_2} + \frac{1}{20} \]

Первый бегун пробегает 1 км со своей скоростью, и время, затрачиваемое им на этот путь, будет равно:

\[ t_1 = \frac{1}{v_1} \]

Теперь у нас есть две зависимости для времени первого бегуна:

\[ \frac{1}{v_1} = \frac{1}{v_2} + \frac{1}{20} \]

Подставим \(v_1\) из первого уравнения:

\[ \frac{1}{v_2 - 2} = \frac{1}{v_2} + \frac{1}{20} \]

Теперь умножим все уравнения на \(v_2(v_2 - 2) \cdot 20\), чтобы избавиться от дробей:

\[ 20v_2 = 20(v_2 - 2) + v_2(v_2 - 2) \]

Раскроем скобки:

\[ 20v_2 = 20v_2 - 40 + v_2^2 - 2v_2 \]

Упрощая уравнение, мы получаем:

\[ 0 = v_2^2 - 2v_2 - 40 \]

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 4 + 160 = 164 \]

Теперь найдем корни уравнения:

\[ v_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{164}}{2} = 1 \pm \sqrt{41} \]

Положительный корень будет:

\[ v_2 = 1 + \sqrt{41} \]

Теперь подставим \(v_2\) обратно в уравнение для \(v_1\):

\[ v_1 = v_2 - 2 = (1 + \sqrt{41}) - 2 = \sqrt{41} - 1 \]

Так как \(\sqrt{41} \approx 6.4\), то:

\[ v_1 \approx 6.4 - 1 \approx 5.4 \text{ км/ч} \]

Таким образом, средняя скорость первого бегуна составляет приблизительно 5.4 км/ч.